Напряженно-деформированное состояние сплошной среды. Функции формы квадратичных элементов

Страницы работы

7 страниц (Word-файл)

Содержание работы

2. Сведения из теории

2.1 НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Существует обширный класс задач, в которых эффектами инер­ции и взаимосвязи тепловых и механических процессов можно пре­небречь. Тогда совместная задача термоупругости образует две раздельные задачи, решение которых выполняются последовательно и независимо.

Основные уравнения такой несвязанной задачи нестационар­ной термоупругости /без учёта теплообразования при деформации, но с учётом переноса координат/ в квазистатической постановке по напряженному состоянию следующие:

а/ уравнение теплопроводности

КТ,ii =rcv ,          (2,1)

б/ уравнение равновесия

sij,j + rbi=0,             (2,2)

в/ уравнения связи тензоров напряжений и деформации

sij =ld ijekk + 2meij –(3l+2m)ad ije(T-T0),    (2,3)

г/ уравнение связи деформаций с перемещениями

eij=0.5(ui,j + uj,i )        ,                           (2,4)

Дополняя последние три уравнения (2.1-2.4) задачи теории упру­гости различными краевыми условиями на поверхности  ограничива­ющей рассматриваемое тело получаем полный набор соотношений, характеризующих напряженно-деформированное состояние среды.

2.2 ПЕРЕХОД ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

К РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ СРЕДЫ

Процессы деформирования среды связаны с изменением её температурного состояния и наоборот, - изменение температуры сре­ды создаёт её деформацию. В целом это диктует целесообразность решения связанной задачи теплового и деформированного состояний как это принято при теоретическом подходе. Унификация        же программных разработок предполагает условия полного алгоритмического решения частных задач - тепло­вого и напряженно-деформированного состояний среды, а затем их последующего объединения. При этом каждое дифференциальное уравнение, представленные ранее, необходимо изложить применительно к некоей абстрактной модели, наделенной всевозможными вариантами описываемого им явления. Этот переход требует некоторых навыков рассмотрения обычного физического явления, что вызвано потребностью универсальности алгоритма решения. К примеру, среда может состоять из разнородных фрагментов, имеющих различные свойства. Область пространства, ограниченного средой может иметь незамкнутую поверхность в разных частях. Таким образом, часть среды можно считать полупространством. Кроме того, на поверхность тела возможно воздействие однотипных проявлений, но происходящих в разных ее местах.

Ниже излагается описание наиболее полной абстрактной модели, позволяющей выполнять такой переход.

Рис.1    Тело, представленное набором элементарных объемов и поверхностей

                                 X3

Тело, объёмом V ограниченное поверхностью S  /рис.1/ при его дискретном представлении состоит из К элементов объёма и  I, J, L, M,…  частей поверхности (количество которых может быть разным в разных задачах):

V=,              S= + ++…+.

При этом в задаче динамического поведения каждый элемент объёма тела VK обладает конкретными физико-механическими свойствами:

-  модулями упругости  EVk,GVkпервого и второго рода (МПа) для изотропного тела и дополнительными, характеристиками упругости для анизотропного; 

-  плотностью (кг/см3).

Кроме того, на каждую частицу тела может действовать массовая сила qV , вызванная силами тяжести при действии перегрузок с коэффициентом ng, либо электромагнитными полями в объёмеV, либо его части;

На поверхности S1 действует нагрузка интенсивностью qj(t) (МПа), на S2 возможны кинематические перемещения, переменные или изменяемые во времени uJ(t) (см) и на поверхности S3 перемещения uL(t) и скорость  (см/сек) характер изменения которых во времени известен. Дополнительно, на элементарных поверхностях S4 действуют сосредоточенные силы  pm .

Для произвольного момента времени процесс динамического нагружения конструкции опи­сывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений ­второго порядка

M+ КU = F  (1.5)

Чаще всего матрицей демпфирующих свойств, в предварительном расчете пренебрегают, поэтому уравнения на это слагаемое сократим

M+ КU = F            .                 (1.5а)

Тогда, с учетом сказанного,

[М]+ [C]{U} ={Fqv}V+{}V +{Fq}S1+{pm}S4

при    {uJ(t)}S2 наSи  {uL(t)}S3 и {}S3            наS.

где:        [M], M   - матрица распределения плотности и матрица жесткости [К], К ;

              {Fqv}Vи {}V  - векторы нагрузок, вызванные массовыми силами и действием неравномерного теплового поля {DT}v, вследствие деформации {eo}v линейного расширения; {Fq}S1, поверхностными на Sи локальными {pm}S4 на S4. Кинематические ограничения, накладываемые на поверхности наSнS3 определяются векторами {uJ(t)}S2 наSи  {uL(t)}S3, {}S3 . Размерность решаемой системы (n, nx2, nx3) зависит от вида описания пространства, и изменяется пропорционально ему.

Похожие материалы

Информация о работе