Решение нелинейных алгебраических уравнений методами обратной матрицы и простой итерации

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Кафедра прикладной математики

Отчет по лабораторной работе №1

Часть 2: Решение нелинейных алгебраических уравнений

Выполнил студент 321 гр

Ахмеров К. Р.

Проверил: Федорченко И.А.

Новосибирск

2010

1.  Постановка задачи.

Найти решение системы не линейных уравнений Ax̅=b̅, где

A =	4	-2	-1	0	b =	1
	-2	4	0	1		2
	-1	0	4	2		3
	0	1	2	4		4

2.  Методы решения.

2.1.  Метод обратной матрицы x̅ = A^-1 b̅, используя функции Excel МУМНОЖ и МОБР.

Результаты вычислений:

	Обратная матрица
A-1 =	0,419048	0,247619	0,180952	-0,15238
	0,247619	0,419048	0,152381	-0,18095
	0,180952	0,152381	0,419048	-0,24762
	-0,15238	-0,18095	-0,24762	0,419048

х =	0,847619
	0,8190476
	0,752381
	0,4190476

2.2.  Метод простой итерации с точностью ε=0.001. Метод простой итерации заключается в:

Где k – номер итерации, n – количество уравнений, x_i⁽⁰⁾ – начальное приближение.

Расчет выполняется с помощью языка Pascal. Листинг программы:

1  uses crt;

2  const A:array[1..4,1..4] of real=( (4,-2,-1,0),(-2,4,0,1),                                            (-1,0,4,2),   (0,1,2,4));

3  b:array[1..4] of integer=(1,2,3,4);

4  var matr:array[0..100,0..5] of real;

5  i,j:integer;

6  begin

7  clrscr;

8  for i:=0 to 5 do matr[0,i]:=0;

9  i:=0;

10  writeln('   k       x1      x2      x3      x4      pogr');

11  repeat

12  i:=i+1;

13  matr[i,0]:=i;

14  matr[i,1]:=(1+2*matr[i-1,2]+matr[i-1,3])/4;

15  matr[i,2]:=(2+2*matr[i-1,1]-matr[i-4,4])/4;

16  matr[i,3]:=(3+matr[i-1,1]-2*matr[i-1,4])/4;

17  matr[i,4]:=(4-matr[i-1,2]-2*matr[i-1,3])/4;

18  matr[i,5]:=0;

19  for j:=1 to 4 do

20  if abs(matr[i,j]-matr[i-1,j])>matr[i,5] then

21  matr[i,5]:=abs(matr[i,j]-matr[i-1,j]);

22  write(i,'      ');

23  for j:=1 to 5 do write(matr[i,j]:8:4);

24  writeln;

25  until matr[i,5]<0.001;

26  readln;

27  end.

Результат вычислений:

2.3. Метод Гаусса-Зейделя с точностью ε=0.001. Метод заключается в:

Где k – номер итерации, n – количество уравнений, x_i⁽⁰⁾ – начальное приближение.

Расчет выполняется с помощью языка Pascal. Листинг программы:

1  const A:array[1..4,1..4] of real=((4,-2,-1,0),(-2,4,0,1),

(-1,0,4,2),(0,1,2,4));

2  b:array[1..4] of integer=(1,2,3,4);

3  var matr:array[0..100,0..5] of real;

4  i,j:integer;

5  begin

6  for i:=0 to 5 do matr[0,i]:=0;

7  i:=0;

8  writeln('   k       x1      x2      x3      x4      pogr');

9  repeat

10  i:=i+1;

11  matr[i,0]:=i;

12  matr[i,1]:=(1+2*matr[i-1,2]+matr[i-1,3])/4;

13  matr[i,2]:=(2+2*matr[i,1]-matr[i-1,4])/4;

14  matr[i,3]:=(3+matr[i,1]-2*matr[i-1,4])/4;

15  matr[i,4]:=(4-matr[i,2]-2*matr[i,3])/4;

16  matr[i,5]:=0;

17  for j:=1 to 4 do

18  if abs(matr[i,j]-matr[i-1,j])>matr[i,5] then

19  matr[i,5]:=abs(matr[i,j]-matr[i-1,j]);

20  write(i,'      ');

21  for j:=1 to 5 do write(matr[i,j]:8:4);

22  writeln;

23  until matr[i,5]<=0.001;

24  readln;

25  end.

Результат вычислений:

3.  Вывод: Результаты, т.е. корни СЛАУ, полученные разными методами, примерно одинаковые. Самым точным является метод обратной матрицы. Из приближенных методов, скорость сходимости метода Гаусса-Зейделя много выше, чем метода простой итерации.