Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Страницы работы

Содержание работы

Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дано:

(dy/dt) = sin(t)-u-cos(t); t принадлежит отрезку [0, ]; начальные данные:

 y(1) = y0 = 0; точное решение: y(x) = -sin(t).

Постановка задачи:

1) Необходимо проверить, что заданная функция y(x) =-sin(t)  является точным решение и удовлетворяет начальным данным (y(1) = u0 = 0).

2) Необходимо найти решение y(x) на отрезке [a, b] ([0, ]). По переменной x введем равномерную разностную сетку xi = a + i*h, I = 0. 1. 2. …..M, h = (b-a)/M – шаг сетки. Вместо точного решения y(x) отыщем приближенное решение yi, заданное в узлах разностной сетки xi. Для определения yi ,будем использовать конечно-разностные методы: метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера (предиктор-корректор), метод Рунге-Кутты.

Решение:

1) Убедимся, что заданная функция u(t) =-sin(t) является точным решение и удовлетворяет начальным данным (y(1) = u0 = 0).

(du/dt) = sin(t)-u-cos(t); x принадлежит отрезку [0, ]; начальные данные:   y(1) = u0 = 0.

Подставим u(t) =-sin(t)  в du/dt = sin(t)-u-cos(t) , получим:

du/dt = sin(t)-(-sin(t)) -cos(t)  , du/dt = -cos(t). Возьмем производную от функции точного решения, получим: (u(t))/ = -cos(t). Как мы видим, получается тождество:     

-cos(t) = -cos(t) , а u(0) = 0, из этого следует, что заданная функция является точным решением и удовлетворяет начальным данным.

2)

Метод Эйлера

Построим разностную сетку xi = a + i*h, I = 0. 1. 2. …..M, h = (b-a)/M – шаг сетки.

Метод Эйлера является простейшим конечно-разностным методом, в котором уравнение заменяется разностной схемой: (yi+1 – yi)/h = f(xi, yi), i = 0, 1, 2,….M-1. Решение определяется по формуле:

yi+1 = yi + h*f(xi, yi), i = 0, 1, 2,…..M-1. (1)

Метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. Реализация метода. Поскольку x0, y0, f(x0, y0) известны, применяя (1) последовательно, определяем все yi : y1 = y0 + h*f(x0, y0), y2 = y1 + h*f(x1, y1), y3 = y2 + h*f(x2, y2)……..

                                                     M=10

Номер шага i

Значение аргумента xi

Приближенное решение yi

Точное решение y(xi)

Погрешность  |y(x i) - yi|

0

0

0

0

0

1

0,15707963

-0,157079633

-0,15643447

0,000645168

2

0,31415927

-0,312257127

-0,30901699

0,003240132

3

0,4712389

-0,461964938

-0,4539905

0,007974438

4

0,62831853

-0,603071261

-0,58778525

0,015286009

5

0,78539816

-0,733010744

-0,70710678

0,025903963

6

0,9424778

-0,849942634

-0,80901699

0,040925639

7

1,09955743

-0,952936487

-0,89100652

0,061929963

8

1,25663706

-1,042186907

-0,95105652

0,091130391

9

1,41371669

-1,119259922

-0,98768834

0,131571581

10

1,57079633

-1,187377344

-1

0,187377344

M=20

Номер шага i

Значение аргумента xi

Приближенное решение yi

Точное решение y(xi)

Погрешность  |y(x i) - yi|

0

0

0

0

0

1

0,07854

-0,07854

-0,07846

8,0721E-05

2

0,15708

-0,15684

-0,15643

0,00040405

3

0,235619

-0,23442

-0,23345

0,00097595

4

0,314159

-0,31083

-0,30902

0,00180994

5

0,392699

-0,38561

-0,38268

0,00292742

6

0,471239

-0,45835

-0,45399

0,00435833

7

0,549779

-0,52864

-0,5225

0,00614205

8

0,628319

-0,59611

-0,58779

0,00832863

9

0,706858

-0,66043

-0,64945

0,0109803

10

0,785398

-0,72128

-0,70711

0,01417333

11

0,863938

-0,77841

-0,76041

0,01800023

12

0,942478

-0,83159

-0,80902

0,0225722

13

1,021018

-0,88066

-0,85264

0,02802207

14

1,099557

-0,92551

-0,89101

0,03450739

15

1,178097

-0,96609

-0,92388

0,04221385

16

1,256637

-1,00242

-0,95106

0,0513589

17

1,335177

-1,03457

-0,97237

0,06219538

18

1,413717

-1,0627

-0,98769

0,07501523

19

1,492257

-1,08707

-0,99692

0,09015282

20

1,570796

-1,10799

-1

0,10798817

M=40

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
349 Kb
Скачали:
0