Передаточные функции системы автоматического управления. Типовые воздействия в автоматике переходная характеристика звена. Импульсное входное воздействие, страница 7

                                   

Номер диагонального минора определяет номер коэффициента по диагонали, для которого составлен данный минор. Последний столбец главного определителя содержит только один коэффициент аn.

Критерий Гурвица формулируется следующим образом: чтобы характеристическое уравнение имело все корни с отрицательной вещественной частью, главный определитель и все его диагональные миноры должны иметь один знак с коэффициентом a0 и быть больше 0. Для положительных коэффициентов уравнения an > 0, следовательно, главный определитель также > 0. Если определитель Δn-1 > 0 можно вычислять не все диагональные миноры главного определителя, так как некоторые из них приобретают положительные значения при положительности других миноров. Система находится на границе устойчивости, если выполняется условие Δn = an·Δn-1 = 0 (*). Это равенство возможно в двух случаях: an = 0 или Δn-1 = 0. В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости, то есть один из корней характеристического уравнения равен 0. Во втором случае система находится на границе колебательной устойчивости, то есть два сопряженных корня находятся на мнимой оси. В большинстве случаев коэффициент an не равен 0. Если в этом случае система находится на границе устойчивости, то это граница колебательной устойчивости.

На основании выражения (*) при всех заданных параметрах системы, можно принять за неизвестных один параметр и определить его предельное значение, при котором система находится на границе устойчивости. Таким параметром обычно считают коэффициент усиления системы.

Критерий Гурвица рационально использовать при степени характеристического уравнения меньше или равно 4.

Частотные критерии устойчивости.


Эти критерии позволяют судить об устойчивости замкнутых систем по частотным критериям условно разомкнутых систем, без определения корней характеристического уравнения.

Частотные критерии являются графоаналитическими и позволяют определять устойчивость замкнутой системы при отсутствии характеристического уравнения и передаточных функций системы, используя экспериментально полученные частотные характеристики звеньев и разомкнутой системы в целом.

В основе частотных критериев устойчивости лежит, известный в теории функций комплексного переменного, принцип аргумента.

Пусть дано характеристической уравнения с замкнутой системой:

D(p) = anpn·an-1pn-1+…+a0 = 0 (1);

Разделим коэффициенты всех членов уравнения на коэффициент при старшем члене pn и получим:

D(p)= (p- λ1)(p- λ2)…(p- λn) (2); где λi корни характеристического уравнения.

В этом разложении p=α+jω произвольное комплексное число, которое может быть представлено на комплексной плоскости в виде вектора, начинающегося в начале и оканчивающегося в точке, координаты которой соответствуют вещественной и мнимой частям комплексного числа.


Также любой i-тый корень может быть изображен на плоскости (на рисунке точка С).

Сомножитель p-λi может быть представлен вектором, начинающимся в точке C1 и заканчивающимся в точке B. Произведем замену p на jω в выражении (2):

D(jω)=(jω- λ1) (jω- λ2)… (jω- λn) (3)

Тогда геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости будет следующим – начало комплексного числа лежит в точке с координатой αi, а конец на мнимой оси в точке с координатой jω.


Определим изменение положения вектора C1B при изменении частоты от –∞ до +∞, то есть изменение аргумента D(jω).

 (4)

 (5) – изменение аргумента

при –∞ < ω < +∞ .

Согласно уравнению (5) для изменения аргумента необходимо подсчитать сумму в выражении jω-λi. Это изменения аргумента зависит от того, в какой – левой или правой полуплоскости лежит корень λi. Рассмотрим два случая:


Первый случай:

λ1 принадлежит левой полуплоскости, то есть вещественная часть отрицательна. При изменении частоты от –∞ до +∞ конец вектора jω-λi скользит вдоль мнимой оси снизу-вверх, поворачиваясь против часовой стрелки на 180̊.