Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 13

 - выпукла на                                           (1)

Доказательство:

Пусть .

1.  Выбираем произвольную точку

2.  Проводим касательную к графику функции  в точке касания  

3.  Находим разность ординат  в произвольной точке :

4.   |по определению Логранжа| =, где

5. 

6.  |по определению Логранжа| = , где

7.   

------------------------------ разрыв страницы    à конец страницы 54          -------------

------------------------------ разрыв страницы    à начало страницы 00         -------------

Вставка

Линейные преобразования.

Определение: Если дано правило, согласно которому произвольному вектору  плоскости a ставится в соответствии вполне определенный вектор той же плоскости, то говорят, что на плоскости задано преобразование векторов.

Вектор  называется =* образом вектора , а сам вектор -прообразом вектора .

Примечание. При работе со свободными векторами удобно предполагать, что они все исходят из одной точки О ( приложены к ней). Поэтому т. О при заданном преобразовании А всегда остается на месте.

Определение: Преобразование = называется линейным, если соблюдены следующие два условия:

1)  , где R, ;

2)  ,  .

=; =*

;

Так как = то  получается из  таким же растяжением катит  получается из  

Второе условие означает, что каждый параллелограмм  преобразуется в четырехугольник  который также является параллелограммом.

Пример 1:         Преобразование  заключается в том, что все векторы растягиваются в  раз: .

Так как 1) ===

               2) ===

то данное преобразование является линейным. Такое линейное преобразование называется подобием с коэффициентом подобия .

       

Представление линейного преобразования в координатном виде.

=Х₁Е₁+Х₂Е₂ => (Х₁,Х₂)-координаты вектора  в базисе . Пусть задано некоторое линейное преобразование =. , где ; .

Теорема: Для того, чтобы задать линейное преобразование А нужно задать образы  базиса в виде их разложения по исходному базису .

Доказательство:        ;

                           ==А=А= ==+=+=>

=>   (3)                    =А, где А.

То есть для любого прообраза  однозначно определяется образ .

(3)-называетя координатным представлением данного преобразования  в базисе . Матрица А= называется матрицей линейного преобразования в данном базисе.

Теорема (обратная) : Пусть линейные преобразования формулами (3). Тогда образы базисных векторов однозначно определяется матрицей А этой системы.

Действительно =(1,0)

=(1,0)

То есть вектор  в образе  имеет координаты (1,0). Аналогично  в образе  имеет координаты (0,1). Тогда по формуле (3):

=А;                 ===> (4)

=А^т, где А^т транспортированная матрица.

Вывод: Если дано линейное преобразование  и выбран базис , то данное преобразование представляется в координатах формулами (3). Обратно, если марание даны формулы (3), то они представляют в выбранных координатах некоторое линейное преобразование . Матрица М₁ составленная из коэффициентов системы (3) и матрица А^т, задающая разложение (4) нового базиса  по старому базису переводятся одна в другую транспортированием.

Пример: Пусть -есть подобие с коэффициентом k, То есть .

Тогда = => =k =>        

                                                              

ð  А=-матрица подобия.

Пусть ; , То есть , . Тогда . Преобразование (АВ) называется произведением А и В.

Теория: Матрица произведения (АВ) двух линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований.

Определение: Линейное преобразование  называется врожденным, если определитель его матрицы А равен 0.

Пусть . Преобразование А^-1 называется обратным по отношению к данному, если оно любому образцу  ставит в соответствие его прообраз .

То есть .

Теорема: Для каждого невыраженного линейного преобразования имеется обратное, которое также является линейным и имеет матрицу А^-1, обратную к матрице А.