Частотные характеристики систем управления

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Лекция  3.

ТемаЧастотные характеристики систем

управления.

План:

1.  Преобразование Фурье.

2.  Частотные характеристики линейных систем управления.

3.  Характеристики систем при различных соединениях звеньев.

1. Рассмотрим линейную систему управления с постоянными коэффициентами, описывающуюся уравнением

,                               (3.1)

и до момента  подачи управляющего сигнала находящуюся в покое, т.е. при нулевых начальных условиях

      .                          (3.2)

Преобразование Фурье – одно из интегральных преобразований, тесно связанное с преобразованием Лапласа.

Определение 3.1. Функция  действительного аргумента  называется оригиналом по Фурье, если она однозначна, непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и абсолютно интегрируема на всей числовой оси.

Определение 3.2. Изображением по Фурье функции-оригинала  называется функция  действительного аргумента , которая определяется интегралом

.                                   (3.3)

Функция-оригинал по Фурье удовлетворяет следующему соотношению:

.                           (3.4)

Соотношения (3.3) и (3.4) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Если функция  для всех , то прямое преобразование Фурье принимает вид

,                                  (3.5)

которое формально с точностью до обозначений совпадает с прямым преобразованием Лапласа при условии, что .

Применив преобразование Фурье (3.5) к линейной одномерной системе управления, которая определяется уравнением (3.1) и начальными условиями (3.2), получим

,                      (3.6)

где  и  – изображенияФурье функций и ; и соответствующие многочлены

;

.

Равенство (3.6) можно записать в виде

.

2. Функция  называется комплексной частотной характеристикой системы, или частотной передаточной функцией, или амплитудно-фазовой характеристикой. Частотная передаточная функция  есть изображение Фурье импульсной переходной функции . Как видим, функция , т. е. комплексная частотная характеристика совпадает с передаточной функцией, в которую вместо переменной  подставлена переменная .

Комплексную частотную характеристику можно представить в одной из двух форм

;      .

Функция  называется амплитудной частотной характеристикой системы,  – фазовой частотной характеристикой системы,  – действительной частотной характеристикой системы (не путать с изображением  функции управления ), мнимой частотной характеристикой системы.

Комплексная частотная характеристика  представляет собой отношение установившейся реакции  системы к данному входному сигналу вида  . Тогда амплитудная частотная характеристика  есть отношение амплитуды установившегося выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала с частотой  . Аналогично  – разность фаз выходного и входного гармонических сигналов.

На комплексной плоскости (рис. 3.1) частотная передаточная функция  определяется вектором , длина которого равна , и аргументом  (углом, образованным этим вектором с положительным направлением действительной полуоси). Кривую, которую описывает конец этого вектора при изменении частоты от 0 до  (иногда от  до ), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Частотную передаточную функцию называют также амплитудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную часть  и мнимую часть  называют соответственно вещественной и мнимой частотной функцией. График вещественной частотной функции (кривая зависимости ) – вещественной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции  – мнимой частотной характеристикой.

Модуль  называют амплитудной частотной функцией, ее график – амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент  называют фазовой частотной функцией, ее график – фазовой частотной характеристикой.

Вообще говоря, действительная  и мнимая  частотные характеристики находятся в определенной зависимости. Для достаточно широкого класса систем такая зависимость оказывается однозначной. В этом случае системы называются минимально-фазовыми. Для минимально-фазовых систем справедливы соотношения

,       ,

где под интегралами следует понимать их главные значения по Коши.

Амплитудная  и фазовая  частотные характеристики  удовлетворяют аналогичным равенствам, а именно:

,         .

Кроме перечисленных частотных характеристик при исследовании систем управления используют так называемую логарифмическую частотную характеристику (ЛЧХ), которая представляет собой натуральный логарифм комплексной частотной характеристики

.

В практике используются логарифмическая амплитудная частотная функция следующего вида:

.

График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции  от логарифма частоты  называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению , пишут само значение , а не значение , а по оси ординат –  значение .

3. Отдельные звенья систем управления можно соединить друг с другом различными способами. Рассмотрим три способа соединения: последовательное, параллельное и антипараллельное.

Интерес представляет задача об определении импульсной переходной функции и передаточной функции той части системы, которая состоит из  звеньев, если соответствующие характеристики отдельных звеньев известны. Все другие характеристики можно определить на основании приведенных выше формул по этим двум функциям.

Похожие материалы

Информация о работе