Общая электротехника и электроника: Лабораторный практикум, страница 15

На схеме обозначены элементы схемы R, L, C, векторы   напряжения U  и тока İ, протекающего через контур, а также векторы падения  напряжений на элементах контура UR,   и UL.

     Процессы, происходящие в исследуемой цепи (в соответствии со вторым законом Кирхгофа), описываются в случае постоянства величин R ,L , C во времени и независимости их от величины протекающего тока, линейным интегрально-дифференциальным уравнением:

                      u(t)=R •i(t)+L• d[i(t)]/dt+1/C• ∫i(t) dt,                                (3.1)

где u(t) – переменное напряжение, подаваемое на колебательный контур,

R – величина сопротивления резистора ,

L – величина индуктивности,

С – величина емкости,

i(t) –-переменный ток, протекающий в цепи.

В случае, когда поступающее на колебательный контур от генератора напряжение точно описывается синусоидальной функцией, а частота колебаний напряжения (f) постоянна, для решения уравнения можно использовать метод представления напряжений и токов в виде условных векторов на комплексной плоскости, вращающейся против часовой стрелки с частотой w.

Полное сопротивление для переменного тока электрической цепи, состоящей из последовательно включенных R-L-C –элементов при этом также целесообразно представлять в комплексном виде. Для того, чтобы отличить комплексные величины, их принято выделять подчеркиванием снизу. С учетом этого замечания выражение для полного сопротивления последовательно включенных элементов R-L-C записывается в следующем виде:

Z=|Z| • exp[jwt] =R+jX,                                        (3.2)

где R – активное сопротивление цепи,

X=X L+Xc – полное комплексное реактивное сопротивление цепи,

X L=jwL=j|XL| – комплексное представление сопротивления индуктивности,

Xc=1/jw C=-j|Xc| – комплексное представление сопротивления емкости.

ХL=wL=2πfL – индуктивное сопротивление цепи для переменного напряжения,

Xc=1/jwC – емкостное сопротивление цепи для переменного напряжения,

Z=| Z| =√ R2 + (XL –Xc)2 - модуль полного комплексного сопротивления цепи, состоящей из последовательно включенных элементов R-L-C.

Подставляя принятые обозначения  в формулу (3.1.) можно записать выражение для напряжения, приложенного к рассматриваемой цепи в следующим  виде:

                                    u(t)= i(t) • | Z|= i(t)•√R2 + (XL –Xc)2                                        (3.3)

Таким образом решение интегрально –дифференциального уравнения (3.1.)

заменено решением простейшего алгебраического уравнения.

Параметры этого уравнения легко определяются из приведенных выше выражений.

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется  из выражения:

                                      φ= arctg X/R,                                                           (3.4.)

где Х=XL–Xc – полное реактивное сопротивление цепи, равное алгебраической разности величин индуктивного и емкостного сопротивлений.

                               ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ

Для облегчения построения векторных диаграмм на вращающейся плоскости необходимо запомнить следующие основные положения:

- В цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе.

- В идеализированной цепи только с индуктивным сопротивлением без потерь напряжение по фазе опережает ток на угол, равный 90 градусов

- В цепи с чисто емкостным сопротивлением без потерь ток опережает по фазе напряжение на угол +90 градусов.