Численное дифференцирование и интерполяция

Страницы работы

Содержание работы

Численное дифференцирование и интерполяция

Цель работы:

по заданной таблице найти значения первой и второй производной в узлах сетки:

а) используя разделенные разности;

б) с помощью интерполяционных формул 1-го и 2-го порядка.

Сравнить полученные результаты и оценить погрешность.

Варианты работ

Таблица значений функции y=y(x)

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

y

1

1,1

1,2

1,3

1,5

1,8

2,3

3,1

4,4

6,5

7,9

8,5

9,1

9,8

Найти значение y, y¢ и y¢¢ при заданном x в соответствии с вариантом:

Вариант

х

Вариант

х

1.

0,16

11.

1,18

2.

0,27

12.

1,29

3.

0,38

13.

1,21

4.

0,49

14.

1,13

5.

0,51

15.

0,93

6.

0,62

16.

0,82

7.

0,73

17.

0,77

8.

0,84

18.

0,66

9.

0,96

19.

0,54

10.

1,07

20.

0,14

 Рекомендации к выполнению задания

а) Для вычисления производных во внутренних узлах сетки будем использовать центральные разделенные разности:

                                                                                                       , ,

где h – шаг сетки.

Эти формулы неприменимы к вычислению производных в крайних узлах. Поэтому в первом и в последнем узле сетки используем нецентральные разделенные разности:

                                                                                                          , ,

                                                                                                           , .

б) Интерполяционные формулы первого порядка позволяют вычислить значение только первой производной между узлами сетки. Запишем «правую» и «левую» интерполяционные формулы первого порядка и найдем их первые производные для узла с номером i<n:

                                                                        ,

                                                                            ,

                                                                                                  ,

Как видно из последних формул, полученные таким образом производные совпадают с нецентральными разделенными разностями первого порядка.

Интерполяционная формула второго порядка может быть использована для отыскания и первой, и второй производной. Для ее построения используются значения функции в трех соседних узлах сетки:

         

Дифференцирование по переменной x дает формулы для вычисления производных:

          ,

          .

Последняя формула совпадает с центральной разделенной разностью второго порядка для i-го узла. Формула для первой производной тоже совпадает с центральной разделенной разностью, если вместо переменной x подставить абсциссу i-го узла.

Для оценки погрешности интерполяции примем во внимание неточность задания исходных данных, считая, что абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего удержанного разряда. В нашем случае значения функции в таблице заданы с точностью до десятых, следовательно, их погрешность не превышает 0,05. Суммарная погрешность интерполяции, таким образом, складывается из погрешности вычисления по неточно заданным данным и погрешности интерполяционной формулы.

Аналогично, погрешность численного дифференцирования должна учитывать как неточность интерполяционной формулы, так и неточность задания данных.

Найденную погрешность следует проверить на правдоподобность (различие между результатами, полученными разными способами, должно укладываться в погрешность).

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
57 Kb
Скачали:
0