Численное дифференцирование. Нахождение значений первой и второй производных в заданной точке

Страницы работы

Содержание работы

Численное дифференцирование

(рекомендуется для самостоятельного выполнения)

Цель работы: для функции, заданной таблично, найти значение первой и второй производных в точке .

ПРИМЕР. Функция задана таблицей 3.1.

Таблица 3.1

x

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

f(x)

1,17609

1,00000

0,833333

0,714285

0,625000

0,55555

0,32222

0,22222

Для приближенного вычисления значения производных функции в точке =1.8, рассмотрим методы численного дифференцирования, полученные на основе разложения функции по формуле Тейлора.

Теоретическая часть.

А. Пусть на отрезке  на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию  по формуле Тейлора, причем количество точек , определяющих расчеты относительно точки , равнялось 1.

,

где , .

Получаем:

.

Справедлива оценка:

,

где .

Отсюда следует функциональная формула для первой производной:

,                                          (1)

причем оценка погрешности составит .

Формула (1) является левосторонней. Если функцию  разложить по формуле Тейлора относительно точки , то получим правостороннюю формулу:

,                                        (2)

оценка погрешности составит .

Б. Пусть на отрезке  на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию  при  и  по формуле Тейлора относительно точки , причем , , . В результате разложения находим соотношения:

,

где , , .

Исключаем в приведенных выше равенствах вторую производную, и выражаем из полученных соотношений , получаем следующую аппроксимацию первой производной в крайней левой точке:

,    (3)

 где , оценка погрешности , .

На равномерной сетке (, ) формула (3) приводится к виду:

,

оценка погрешности составляет , .

Аналогично, разложив функцию  относительно точки  и получив соотношения для , , найдем , аппроксимирующую первую производную в правой крайней точке:

,

с оценкой погрешности .                             (4)

Для равномерной сетки (, ):

.

С. Пусть на отрезке  на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию  при  и  по формуле Тейлора относительно центральной точки , причем . Полученные выражения для ,  и исключение из них слагаемых со второй производной приводят к следующим расчетным формулам, аппроксимирующим первую производную в центральной точке :

.                 (5)

Для равномерной сетки (, ):

,

оценка погрешности составляет , .

D. Пусть на отрезке  на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию  в точках  и  по формуле Тейлора до слагаемого четвертого порядка относительно шага.

Аппроксимация второй производной  на нерегулярном шаблоне имеет вид:

.

Если сетка равномерная, то

,

оценка погрешности составляет , .

Пример для расчета.

Требуется вычислить значение первой производной  и второй производной .

1. Так как шаг заданной сеточной функции постоянный ,  точка  находится внутри сетки, то для вычисления производной в этой точке воспользуемся формулой (5). При этом центральная точка расчетного шаблона совпадает с точкой

Посчитаем искомое значение производной:

=.

Прежде чем выполнить вычисление, определим количество знаков, которое сохраняется при этом.

Остаточное слагаемое выбранной формулы

Так как остаточное слагаемое , то в вычислениях ожидается три верных цифры после запятой. Оставим ещё одну сомнительную, итого для наших расчетов четыре цифры после запятой.

=-0.521.

Фактическая абсолютная погрешность составляет:

,

а относительная погрешность равна .

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1.  постановку задачи;

2.  вычисление первой производной в точке  по всем приведенным в теоретическом разделе формулам ;

3.  вычисление второй производной в точке ;

4.  оценку абсолютной и относительной погрешности вычислений.

Варианты лабораторных работ

Номер варианта

Функция

Точки интерполяции

Номер варианта

Функция

Точки интерполяции

1

А

1

16

А

9

2

Б

2

17

Г

6

3

В

1

18

Б

4

4

А

2

19

Д

5

5

Г

7

20

Г

10

6

В

2

21

А

8

7

Б

5

22

Д

2

8

Д

3

23

Б

7

9

А

3

24

В

10

10

Г

1

25

Г

5

11

В

6

26

Б

8

12

Д

4

27

А

5

13

Б

3

28

В

4

14

В

9

29

Г

3

15

Д

7

30

Д

10

Функция А

x

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

f(x)

0,94608

0,82868

0,70805

0,63961

0,5623

0,42468

0,38918

0,24959

0,10582

0,05777

Функция Б

x

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

f(x)

0,82868

0,70805

0,63961

0,5623

0,42468

0,33790

0,20159

0,16117

0,01655

0,00768

Функция В

x

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

f(x)

0,70805

0,63961

0,5623

0,42468

0,38918

0,35096

0,21384

0,17260

0,10711

0,57735

Функция Г

x

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

f(x)

0,99602

0,97670

0,85402

0,72777

0,69776

0,6386

0,42592

0,38384

0,23751

0,18688

Функция Д

x

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

f(x)

0,91242

0,89244

0,6906

0,64207

0,51130

0,47660

0,43784

0,33491

0,24772

0,19623

Точки для расчета

N

N

1

0,3

6

0,4

2

0,4

7

0,3

3

0,5

8

0,2

4

0,2

9

0,6

5

0,6

10

0,5

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
243 Kb
Скачали:
0