Элементы расчета и конструирования гиперболоидного масс-спектрометра типа «Фильтр масс»: Учебное пособие к курсовому проектированию, страница 4

Найдем аналитическое выражение стабильной траектории. Точкам, выбранным на диаграмме (a, q) области стабильности (см. рис. 4), соответствуют чисто мнимые дробные значения показателя степени  в решении канонического уравнения Матье (17):

                              ,    0<<1.                                                               (20)

Выражение (17) с учетом (20) можно преобразовать к виду

                                                           (21)  где  и  - четная и нечетная функции Матье действительного дробного порядка  [15]. Разложение этих функций в ряд по тригонометрическим функциям имеет вид:

                                                                  (22)

                                                           (23)      где С₀=1, а К – нормирующий множитель [15]. Из общего решения (21) для канонического уравнения Матье (16) можно найти общие решения для уравнений (12) и (13):

                                                                      (24)

                                                                        (25)

где 0<<1; 0<<1; A, B, C, D – постоянные интегрирования. Соотношения (24) и (25) представляют собой аналитическое выражение траектории стабильного иона в параметрической форме. Постоянные интегрирования находятся по известным начальным условиям, обозначаемым  и ;  и , и соответствующим моменту времени :

               ;          (26)

                 ;            (27)

                     ;              (28)

                                   (29)

Соотношения (24)-(29) однозначно и точно определяют траекторию стабильного иона в плоскости (x,y). Решение уравнения (14) идентично выражению (10), которое при С₅= и С₆=0 и для новой переменной  имеет вид

                                                                                               (30)

где ; - составляющая начальной скорости иона в направлении оси  z при влете в анализатор.

Для ионов с параметрами, соответствующими нестабильной области диаграммы (a, q), обозначенной двойной штриховкой (см. рис. 4), значение показателя  в решении (17), зависящее от значений a и q, действительно и в направлении x равно , а в направлении  равно . Аналитические выражения для параметров нестабильной траектории вытекают из выражения (17) и имеют вид

                                                         (31)

                                                                  (32)

где функции  и  определяются, а  и  - постоянные интегрирования. Составляющая нестабильной траектории вдоль оси  по-прежнему определяется выражением (30). Поскольку при нормальной работе анализатора область, обозначенная двойной штриховкой, никогда не

пересекается прямой (18), а, напротив, проходит ниже ее и пересекает область стабильных значений, или системой выражений (25), (30) и (31), если параметры иона соответствуют точке (a, q), лежащей на прямой (18) справа от области стабильных значений, или системой выражений (25), (30) и (32), если точка (a, q) лежит слева от области стабильных значений. В первом случае нестабильный ион попадает на один из двух электродов анализатора, пересекающих ось х, во втором – на один из двух электродов, пересекающих ось y (см. рис. 1). Две группы постоянных интегрирования  и , соответствующих первому и второму случаям, рассчитывают с помощью соотношений, аналогичных выражениям (26)-(29).

Методику сколь угодно точного расчета значений  и , а через них значений  и  входящих в выражения для  и , можно найти в [1].

Качественно уже было показано, что разрешающая способность квадрупольного масс-спектрометра тем выше, чем ближе к вершине диаграммы стабильности () (см. рис. 4) прямая (18), пересекающая область стабильных значений (a,q). Из теории уравнения Матье [15] известно, что чем ближе расположена точка (). находящаяся в области стабильности, к одной из границ этой области, тем меньше отличается значение  в выражениях (22) и (23) от 0 и 1. Так, с приближением точки () к правой границе диаграммы стабильности значение  [см. уравнение (24)] увеличивается и стремится к 0. Из сказанного следует, что должна существовать однозначная связь между разрешающей способностью и значениями  и .

В [1] получены зависимости - и -параметров траектории ионов от  в явном виде:

                                                                                                                              (33)

                                                                  (34)

Характерное отличие между этими функциями заключается в том, что х-параметр траектории иона меняет знак каждые , а y-параметр через каждые , что объясняется наличием в выражении (33) сомножителя  перед квадратной скобкой. Указанное отличие, практически никак не используемое в классическом квадрупольном масс-спектрометре, делает возможным построение так называемого однопольного   масс-спектрометра, являющегося своеобразной модификацией квадрупольного масс-спектрометра.

Из анализа выражений (33) и (34) можно сделать следующие выводы: отклонения стабильного иона от оси квадрупольного анализатора тем больше, чем при прочих равных условиях больше угол влета иона относительно оси, чем дальше от оси место влета и чем ближе точка, характеризующая ион на диаграмме стабильности к одной из ее границ, т.е. чем меньше значения  и .

Из перечисленных обстоятельств можно сделать вывод о необходимости ограничения определенными пределами начальных условий влета ионов, для того, чтобы обеспечить при анализе условия 100% прохождения стабильных ионов через анализатор. Это необходимо для облегчения количественной расшифровки полученного с помощью прибора спектра масс.

3. Условия фильтрации ионов