Физические процессы в барьерных структурах на основе неупорядоченных полупроводников: Учебное пособие, страница 14

где                                                                               (47)

                           (48)

Решение уравнения (46) в соответствии с граничными условиями имеет следующий вид:

                     (49)

где u_d – эффективная скорость дрейфа и диффузии электронов вблизи (j _b):

                            (50)

.                                            (51)

Здесь А^** – постоянная Ричардсона. Для Si, Ge и GaAs n – типа u₂ равно соответственно 7´10⁶; 5,2´10⁶; 10⁷ см/с.

При условии u_d >> u₂ уравнение (49) принимает вид (39), т.е. применима диодная теория.

При условии u_d << u₂ уравнение (49) преобразуется в (42), т.е. вступает в силу диффузионная теория.

Физическая картина этого условия выглядит следующим образом. Электроны, проходящие над барьером в металл, имеют в среднем последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега от максимума барьера. Если d << 1, где d – расстояние, на котором барьер уменьшается на kT (d = kT/F_max), то незначительная часть электронов имеет энергию, достаточную для преодоления барьера, и они не могут существенно изменить концентрацию электронов при x = l. Следовательно, электроны в целом остаются в термодинамическом равновесии с электронами в объеме полупроводника вплоть до расстояния l от границы раздела, что и предполагается в диодной теории Бете. Однако, если d >> 1, то почти все электроны смогут преодолеть барьер, и поток электронов в металл будет приводить к существенному уменьшению концентрации электронов в объеме полупроводника, что согласуется с диффузионной теорией Шоттки [29].

2.2.5. Теория полевой и термополевой эмиссии

Анализ ВАХ контакта металл-полупроводник с высокой концентрацией примеси в полупроводнике показывает, что они не подчиняются рассмотренным теориям. Для сильнолегированных полупроводников слой ОПЗ очень тонок, и поэтому преобладающим механизмом токопереноса будет туннелирование носителей заряда. Энергетическая диаграмма контакта в этом случае представлена на рис. 17. В области низких температур преобладает полевая эмиссия (туннелирование), в области средних температур – термополевая эмиссия (термоэлектронная эмиссия и туннелирование), а в области высоких температур – уже известная термоэлектронная эмиссия.

Для низких температур прямая ВАХ имеет вид:

                                         (52)

где                        ,           (53)

.                                     (54)

Здесь h – постоянная Планка; m^* – эффективная масса электрона; N_d – концентрация доноров; j₂ – потенциал уровня Ферми полупроводника по отношению к дну зоны проводимости. Если построить ВАХ в полулогарифмическом масштабе, то получится прямая линия, наклон которой равен q/E₀₀.

Рис. 17. Энергетическая диаграмма контакта металл-полупроводник при прямом смещении для полевой и термополевой эмиссии

Для средних температур в предположении, что большинство электронов туннелируют при E = E_M, ВАХ имеет вид:

                                       (55)

где                          (56)

.                                     (57)

В этом случае наклон ВАХ в полулогарифмическом масштабе равен q/E₀. Аналогично записываются ВАХ для обратного смещения [29, 31].

Отношение kT/E₀₀ является критерием того, с чем связано токопрохождение. В первом приближении можно считать, что полевая эмиссия преобладает, если kT << E₀₀, термополевая – если kT ≈ qE₀₀, и термоэмиссия – при kT >> E₀₀. Более точные выражения для критерия вида эмиссии даны в работе [29].

Необходимо также заметить, что энергия E₀₀ имеет физический смысл диффузионного потенциала барьера Шоттки, при котором вероятность туннельного происхождения электрона с энергией, соответствующей дну зоны проводимости на краю обедненной области, равна exp ^-1.

2.2.6. Постоянная Ричардсона

Величина А^* (постоянная Ричардсона) является одной из важнейших постоянных в теории контакта металл-полупроводник с барьером Шоттки. Для термоэлектронной эмиссии в вакуум постоянная Ричардсона А^* = 120 А/(см²´К²). В табл. 1 и 2 представлены численные значения отношений А^*/А для термоэлектронной (табл. 1) и термополевой (табл. 2) эмиссий. Отношение А^*/А и m^*/m₀ в значительной степени зависит от полупроводника и типа его проводимости (m₀ – масса покоя свободного электрона).

Во многих случаях сохраняется вероятность электронно-оптического отражения электронов от барьера, даже если он обладает энергией, достаточной для преодоления этого барьера [29]. Кроме того, после прохождения барьера электрон может претерпевать рассеяние с поглощением или испусканием фотона и возвращаться обратно. Последний процесс наиболее вероятен на участке от 0 до х_м (рис. 17). Кроуэлл и Зи предложили описывать вероятность перехода электронов через барьер функцией f_p, а квантовомеханический коэффициент передачи – функцией f_q. С учетом сделанных замечаний постоянную Ричардсона можно записать следующим образом:

.                                        (58)

Таблица 1

Значения А^*/А при термоэлектронной эмиссии

Таблица 2

Значения А^*/А при термополевой эмиссии

Полупроводник	Ориентация	m*/m0	А*/А
Si Si Ge Ge	<111> <110> <111> <100>	0,259 0,1905 0,096 0,12	0,358 0,415 0,329 0,238

Для Si при комнатной температуре и напряженности поля F = 4×10⁶ В/м при N_d = 10²² м ^-3 коэффициент f_p = 0,95. Для GaAs f_p = 0,85 вследствие большего взаимодействия электронов с фононами в полярных полупроводниках. Величина f_p асимптотически приближается к 1 при увеличении F_max и уменьшается с температурой вследствие увеличения числа фононов.