Исследование переходных процессов в коллекторном двигателе переменного тока при пуске: Методические указания к лабораторной работе № 8, страница 3

где B_δ1 – расчетная эффективная индукция над сбегающим краем полюса с учетом опрокидывания поля.

С учетом уменьшения ширины полюсного деления поток под полюсом будет равен:

.                                        (21)

С учетом ранее принятых аппроксимаций для B_δ,ср имеем: 

  (22) при k₁·I_a ≤ I_a,кр·w_f  

 (23) при  k₁·I_a > I_a,кр·w_f ;

 (24)

при (k₁ – w_f)·I_a > I_a,кр·w_f .

В программе расчета на ЭВМ перед вычислением потока в воздушном зазоре Φ_δ  ведется анализ ситуации в зависимости от величины тока якоря, и определяется соответствующая расчетная формула для определения Φ_δ.

Для переходного режима можно записать дифференциальное уравнение для якорной цепи, подставив в (1) вместо jω оператор дифференцирования . Учитывая, что (X_σa + X_σf)=(l_σa+l_σf)·ω₁;

(X_aq+ X_ad ·sin α_щ) = (L_aq+ L_ad ·sin α_щ)·ω₁, где l_σa и l_σf – соответственно индуктивности рассеяния обмоток якоря и возбуждения; L_ad и L_aq – индуктивности якоря по продольной  и поперечной осям, получим:

.                  (25)

Уравнения для мгновенных значений с учетом насыщения можно записать в виде:

(26)

После преобразования (26) приводится к виду:

,                     (27)

где  U_m – амплитуда напряжения сети, В;

ω₁ – угловая частота сетевого напряжения, с^-1;

 – активное сопротивление якорной цепи, Ом;

 – общая индуктивность цепи якоря, Гн.

Мгновенное значение тока якоря, полученное в результате решения этого  дифференциального уравнения, можно представить в виде:

i_a=I_am·sin(ω₁t+φ),

где I_am – амплитуда тока якоря, А; φ – фазовый сдвиг тока относительно напряжения, рад.

Во всех точках расчета потока под нагрузкой используется действующее значение тока якоря, определяемого из соотношения:

.

В соответствии с этим во всех точках расчета мгновенное значение тока якоря делится на .

Поток Φ_δ, рассчитанный по приведенной методике, будет совпадать по фазе с током якоря.

2.3 Учет угла магнитного запаздывания

На рисунке 2 приведена векторная диаграмма для установившегося режима КД, построенная по уравнению (1) с учетом (6).

Как видно из векторной диаграммы, поток Φ_δ отстает от тока на угол γ, который обусловлен суммарными потерями в стали в номинальном режиме P_сн и электрическими потерями в коммутируемых секциях P_μt от трансформаторной ЭДС Е_t, наводимой в коммутируемой секции.

Величина угла сдвига определяется из соотношения:

,                                      (28)

где P_сн – магнитные потери в стали статора и якоря, Вт;

P_μt – потери в коммутируемой секции, Вт,

,                                          (29)

Е_t – трансформаторная ЭДС в коммутируемой секции, В;

R_c – активное сопротивление коммутируемой секции, Ом,

,

Рисунок 2 – Векторная диаграмма коллекторного двигателя.

2a – число параллельных ветвей обмотки якоря, К – число коллекторных пластин.

В процессе расчета переходного процесса величина угла γ принята постоянной.

При определении мгновенных значений потока по уравнениям (17), (19) и (21) получаются мгновенные значения потока, изменяющегося в фазе с током якоря. Для получения реального значения магнитного потока, сдвинутого относительно мгновенного значения тока якоря на угол γ , необходимо выполнить вычисления согласно следующему уравнению:

               ,                                      (30)

где  φ_δ – мгновенное значение действительного магнитного потока, Вб;

φ_δ1 и φ_δ2 – первая и вторая составляющие  магнитного потока φ_δ, Вб.

Первая и вторая составляющие магнитного потока φ_δ сдвинуты во времени относительно друг друга на четверть периода. Вторая составляющая потока под нагрузкой φ_δ2 может быть рассчитана по разработанному алгоритму (по известному значению тока с учетом кривой намагничивания), если в расчете будет использоваться мгновенное значение тока, меняющегося по закону косинуса:

.                                       (31)

Это значение может быть получено из решения дополнительного дифференциального уравнения якорной цепи:

,                 (32)

отличающегося от (27) лишь фазой напряжения сети. Поскольку все параметры (32) совпадают с (27), то фазовый сдвиг тока относительно напряжения будет равен углу φ.

ЭДС трансформации  определяется по закону электромагнитной индукции и может быть разложена с учетом потерь в стали на две составляющие (рисунок 2) в комплексной форме:

– совпадающую по направлению с током (она носит активный характер и складывается с падением напряжения на якоре)

,                                (33)

где  – коэффициент трансформации, – число витков обмотки возбуждения на один полюс;

– составляющую, имеющую индуктивный характер,

,                             (34)

которая складывается с падением напряжения на индуктивности цепи якоря.

ЭДС вращения удобно разложить на две составляющие (рисунок 2) в комплексной форме:

– совпадающую по фазе с током якоря (активная составляющая, обусловленная потоком φ_δ1):

,                                            (35)

– составляющую, сдвинутую по фазе на четверть периода (реактивная составляющая, обусловленная потоком φ_δ2):

,                                      (36)

Таким образом, ЭДС вращения с учетом угла магнитного запаздывания представляется в виде:

.                                (37)

2.4 Уравнение моментов коллекторного двигателя

Электромагнитный момент КД определяется по уравнению, Н·м:

.                                            (38)

Проведя подстановку в (38) значений тока якоря i_a и потока φ_δ в воздушном зазоре, получим:

.    (39)

Это уравнение показывает, что момент имеет две составляющие:

– постоянную, соответствующую среднему моменту, Н·м,

 ,                                    (40)

I_a – действующее значение тока якоря, А;

– переменную составляющую, меняющуюся с двойной частотой, Н·м,

.                 (41)

Электромагнитный момент уравновешивается моментом сопротивления нагрузки на валу М_с, динамическим моментом М_дин и моментом холостого хода М₀.

Динамический момент на валу КД составляет, Н·м:

,                                         (42)

где J – момент инерции якоря и нагрузки, кг·м².

Момент инерции якоря равен, кг·м²:

,                                            (43)

где m – масса якоря, кг, r_a – радиус якоря, м.

В единицах технической системы мер момент инерции определяется,

кг·м ·с²:

,                        (44)

где D_a – диаметр якоря ,м, D_к – диаметр коллектора, м, l_к – длина коллектора, м, g – ускорение свободного падения, м/с².

Момент холостого хода состоит из трех составляющих, Н·м:

– постоянной    ;

– линейной       ;

– квадратичной ,