Вирази та їх перетворення

Лекція

                 Тема: Вирази та їх перетворення.

План

1.  Місце теми в програмі.

2.  Вимоги до знань і вмінь учнів.

3.  Особливості викладу у шкільних підручниках.

4.  Формування провідних понять теми.                             

1.  Місце теми в програмі.

Вивчення різновидів виразів і перетворення їх  забирає в курсі алгебри значну частину навчального часу. Це тому, що перетворення виразів є основою для розв’язування рівнянь і нерівностей, доведення тотожностей, обчислення значень буквених виразів. Вони широко використовуються в диференціальному та інтегральному численні, істотно впливають на оволодіння знаннями з фізики та деяких інших шкільних дисциплін. Відомий англійський математик У.Сойер зазначив, що до цього часу багато чого в науці залежить  від здатності добре і грамотно користуватись мовою найпростішої алгебри, а вміння легко перетворювати елементарні алгебраїчні вирази досить корисне і для вивчення алгебри сучасності. Тому забезпечення заданого програмного обсягу і рівня оволодіння учнями знаннями й умінням щодо тотожних перетворень виразів має стати предметом постійної уваги вчителя математики.

З найпростішими числовими і буквеними виразами учні стикались у 1-6 класах, вивчали найпростіші перетворення виразів за законами арифметичних дій. У курсі алгебри постає завдання – на основі вже здобутих знань і умінь систематизувати, поглибити і розширити знання, навички й уміння учнів про вирази та їх перетворення, навички цілеспрямовано використовувати їх під час виконання різних навчальних задач (спрощенні виразів, розв’язуванні рівнянь, нерівностей, доведенні тотожностей та ін.).

Програма передбачає у 7 класі повторити та уточнити відомості про числові та буквені вирази, формули, ввести поняття про тотожно рівні вирази, тотожність, тотожні перетворення цілих виразів (одночленів та многочленів), формули скороченого множення і застосування їх до перетворення многочленів.

У 8 класі передбачене вивчення тотожних перетворень раціональних дробів, дробових виразів і перетворень раціональних виразів, пов’язаних з квадратним коренем. Розширюється поняття степеня. Зокрема, вводиться поняття степеня з цілим від’ємним показником і розглядаються перетворення найпростіших виразів, що містять степені з від’ємним показником.

У 9 класі тотожні перетворення цілих і дробових виразів використовуються для розв’язування рівнянь, нерівностей, систем рівнянь. Вивчається спеціальне перетворення  - розкладання квадратного тричлена на множники, яке використовується для виведення загальної формули коренів квадратного рівняння, побудови графіка квадратичної функції.

2.  Вимоги до знань і вмінь учнів

Вимоги до питання про перетворення виразів – одне з найважливіших  у шкільному курсі математики. Без знання тотожних перетворень не можна було б  розв’язувати рівняння, доводити теореми, не можна вивчати й вузівську математику. Тому вимоги до знань і вмінь  під час вивчення виразів і їх перетворення повинні бути на відповідному рівні. Можна сформулювати їх наступним чином:

Ø  Розрізняти числові й буквені вирази;

Ø  Розуміти зміст степеня з натуральним показником, одночлена, многочлена, алгебраїчного дробу, цілих і дробових виразів, степеня з цілим  показником;

Ø  Уміти зводити до стандартного вигляду одночлени і многочлени;

Ø  Знати формули скороченого множення і вміти застосовувати їх до тотожних перетворень виразів;

Ø  Уміти додавати, віднімати, множити многочлени і розкладати їх на множники;

Ø  Уміти скорочувати, додавати, віднімати, ділити алгебраїчні дроби;

Ø  Уміти зводити дробові вирази до вигляду дробу;

Ø  Уміти перетворювати вирази, що містять квадратні корені.

3.  Особливості викладу у шкільних підручниках.

У традиційних підручниках алгебри, зокрема в підручнику А.П.Кисельова, у зв’язку з вивченням тотожних перетворень виразів розглядались дії додавання, віднімання, множення і ділення одночленів, многочленів, алгебраїчних дробів. У цьому разі в 6 класі (за старою нумерацією класів) вивчались лише прямі перетворення (додавання, множення, ділення цілих виразів), а в 7 класі – обернені (розкладання многочленів на множники). Це відривало тотожні перетворення від їх застосувань і призвело до формалізму у навчанні алгебри.

З цього приводу В.Л.Гончаров (1896-1953) в 1953р. писав, що “коли б школа не поспішала приголомшувати учнів громіздкими вправами в буквених перетвореннях і розвивала формальну техніку в міру потреби, ретельно з’ясовуючи логіку операцій, то вивчення алгебри стало би більш плідним, а також і легшим для пересічного учня” (Известия АПН РСФСР. – 1958. – Вып.92).

У попередніх виданнях  підручника алгебри за редакцією О.І.Маркушевича було реалізовано саме такий методичний підхід до вивчення тотожних перетворень виразів. В основу цього підходду покладено також ідеї Г.Б.Гуревича, які він виклав у журналі “Математика в школе”, №6 за 1962 р. в статті “Про термінологію початкової алгебри” Г.Б.Гуревич запропонував відмовитись в алгебрі від терміна “дії над виразами” оскільки, наприклад, дій додавання одночленів або многочленів взагалі не існує. Цю дію можна лише позначити, а виконати можна лише тоді, коли виконано числову підстановку числових значень букв. Справді, після позначення додавання або віднімання виконується тотожне перетворення  позначеного виразу – зведення його до стандартного вигляду многочлена. Взагалі всі операції початкової алгебри  - це перетворення виразів на тотожно рівні їм. Згідно з таким підходом, треба говорити не про додавання і віднімання дробів, а про перетворення суми і різниці дробів на дріб, у якого чисельник і знаменник – многочлени стандартного вигляду. Ділення одночленів і многочленів пропонувалось не розглядати. Спроба впровадити таку термінологію виявилася невдалою, і автори підручника алгебри повернулись до традиційної термінології, зручнішої для учнів. Разом з тим, ділення многочленів і одночленів і нині в школі  не вводиться. Послідовність вивчення тотожних перетворень, при якій прямі й обернені перетворення вивчаються паралельно, виявилась вдалою і її залишено в чинних підручниках алгебри.

4.     Формування провідних понять теми.

До провідних понять теми належать такі поняття: “числовий вираз”, “вираз зі змінними” або “буквений вираз”, “тотожньо рівні вирази”, “тотожність”, “тотожне перетворення виразу”, “одночлен”, “многочлен”, “дріб”, “дробовий вираз”, “раціональні вирази”.

Що ж таке вираз? У школі так називають вираз, який у строгих курсах звичайно називають термом. Але учням говорити про терми немає потреби. Раніше пояснювали: “запис, який складається з чисел, позначених цифрами або буквами і сполучених знаками дій, називається виразом”. Чи можна вважати це речення строгим означенням? Ні, не можна. Бо, по-перше, в ньому не зовсім зрозумілий вислів “сполучених знаками дій” (де знак дії у виразі ?). по-друге, у виразі можуть бути і дужки, а всформульованому вище реченні про них нічого не сказано. По-третє, про які знаки дій йдеться? Учням, коли вони ознайомлюються з виразами, відомі лише чотири знаки дій (+,-, *,:). Чи тільки ці знаки можуть бути у виразі, чи й інші, з якими учні ознайомляться пізніше? Про це також не сказано в означенні. Тому і не можна його вважати строгим. Як показує аналіз, у шкільному курсі математики означення поняття “вираз” давати недоцільно, бо сформулювати таке означення важко.