Другие предметы \ Сопротивление материалов

Сложное напряженное состояние: Методическое пособие по курсу сопротивления материалов, страница 3

(Н)

Трубчатое сечение:

(Н)

Таким образом, наиболее рациональным является трубчатое сечение.

4. ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ

4.1.ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ, НАХОДЯЩИЕСЯ ПОД

ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ.

Особенностью расчета тонкостенных оболочек по безмоментной теории является основное допущение о том, что напряжение по толщине оболочки считается постоянным, а напряженное состояние – плоским. Расчет ведется по срединной поверхности. Исключением является случай, когда оболочка находится под действием внешнего и внутреннего давлений.

Пример 1.

Тонкостенная оболочка со сферическими днищами (D=80мм; δ=4мм.) находится под действием внутреннего давления Р=5Мпа; продольной нагрузки F=15,7кн и скручивающих моментов Т=2 кнм Оболочка изготовлена из стали 40ХН, имеющей предел текучести при растяжении , а предел текучести при сжатии . Определить коэффициент запаса. Расчет выполнить для участка достаточно удаленного от днищ.

Задачу решаем, используя принцип независимости действия сил. Сложное нагружение оболочки можно разложить на три простых:

а) - оболочка находится только под действием внутреннего давления; б) - оболочка растягивается;

в) – оболочка скручивается.

а). Для определения напряжений возникающих от действия давления, используем уравнение Лапласа и уравнение равновесия.

Под действием давления Р оболочка растягивается в продольном и окружном направлениях. Соответственно в ней возникают напряжения: -меридиональное напряжение (возникает в продольном направлении) и -окружное напряжение (действует в окружном направлении).

Уравнение Лапласа содержит два неизвестных и (-радиус в окружном направлении, - радиус в меридиональном направлении).

В нашем случае, для сечений достаточно удаленных от днищ (стенки сосуда параллельны друг другу).

Для определения меридиональных напряжений составим уравнение равновесия

Согласно теореме о равнодействующей давления, проекция равнодействующей давления на какую-либо ось всегда равна произведению давления на площадь проекции поверхности, воспринимающей давление на плоскость, нормальную к этой оси: .

Это усилие вызывает в поперечном сечении оболочки ( ) напряжения .

Напряженное состояние во всех точках поперечного сечения одинаково.

Б). Продольная сила F действует на оболочку аналогично равнодействующей R, вызывая напряжения в продольном направлении.

N -продольная растягивающая сила , равная F.

Напряженное состояние во всех точках поперечного сечения одинаково.

b). Скручивающий момент Т вызывает в поперечном сечении касательные напряжения τ

W_t-момент сопротивления при кручении тонкостенного круглого профиля уже был рассмотрен ранее ( ).

Напряженное состояние во всех точках поперечного сечения одинаково.

Рассмотрим суммарное воздействие этих сил.

Напряженное состояние стенки оболочки

является плоским.

Так как материал имеет разные пределы текучести при растяжении и сжатии, используем теорию Мора:

sэкв=s1-ks3

Главные напряжения s1 и s3 находим аналитически:

Коэффициент запаса равен:.

Для сосудов, находящихся под давлением, рекомендуемый коэффициент запаса составляет(5…15).

Пример 2.

Тонкостенная трубка находится под действием давления Р. На ее конус приложен крутящий момент T=РD³.

В какой точке сечений m-m и n-n напряженное состояние будет наиболее опасным, если .

Рассмотрим сечение m-m. Все точки этого сечения находятся в одинаковом напряженном состоянии, испытывая нормальные напряжения (меридиональные и окружные) от давления Р и касательные напряжения от действия крутящего момента T.

Определяем главные напряжения:

Рассмотрим сечение n-n.

Меридиональные и окружные напряжения в этом сечении такие же, как и в предыдущем случае.

Крутящий момент T для сечения n-n превращается в изгибающий момент.

В точке 1 должны возникнуть напряжения растяжения, а в точке 2 –сжатия.

Точка 1.

Напряженное состояние является плоским.

(радиальные напряжения не учитываются sr=0).

Точка 2.

Напряженное состояние является плоским :

Таким образом, наиболее опасным является сечение n-n.

Пример 3. Исследоватьнапряженное состояние тонкостенной трубки и определить коэффициент запаса n_т.Расчет вылолнить для сечения, достаточно удаленное от концов трубки. Материал – сталь 50.