Дискретные преобразования и их основные свойства, страница 4

     f[0,e] =  lim F*(q,e).                                                                    (3.21)

                       q":

Пример 8.

             

Из теоремы о начальном значении следует, что если изображение F*(q) правильно, т. е. степень числителя меньше степени знаменателя, то

     f[0] =  lim F*(q) = 0.                                                                   

                  q"¥

Иными словами, решетчатая функция, соответствующая правильному изображению, равна нулю в начальный момент времени.

Установленные правила и теоремы являются основой D-преобразования. Ценность их состоит не только в том, что при их помощи можно увеличить количество соответствий между оригиналами и изображениями, но и в том, что используя их, можно исследовать свойства оригиналов при помощи изображений, получение которых для многих задач не представляет никаких трудностей.

3.1.4. Связь между изображениями непрерывной функции и соответствующей ей решетчатой функции. D-преобразование

В этом разделе будет указана связь между изображениями решетчатой и соответствующей ей непрерывной функций. Эта связь дает возможность по изображениям обычного преобразования Лапласа определить изображение дискретного преобразования Лапласа и обратно, а также установить соответствие операций над этими изображениями.

Рассмотрим непрерывную функцию fT(Tt) = f(t)аргумента t = t/T, определенную в интервале 0 < t < :. Изображение этой функции в смысле непрерывного преобразования Лапласа равно

     : 

F(q) = L{f(t)} = ∫ e-st f(t)dt ,                                                           ( 3.22 )

    0            

где q = sT – параметр преобразования и

             1         q

F(q) =  — FT(—).

 T        T

Смещенная решетчатая функция f[n,ε] = f(n+ε) получается из непрерывной функции f(t) заменой в последней переменной t на n+ε. Дискреты смещенной решетчатой функции сдвинуты по отношению к f[n,0] = f[n] при ε > 0 вправо. Изображение этой смещенной решетчатой функции в смысле D-преобразования равно

                             :            

F*(q, ε) =  D{f[n, ε ]} = Σ   e-qn f[n, ε],                                          

                 n=0        

где ε рассматривается как параметр. В частности, при ε = 0 получаем

                            :             

F*(q, 0) =  D{f[n, 0]} = Σ   e-qn f[n, 0],                                          

                n=0         

или проще:

                    :        

F*(q) =  D{f[n]} = Σ e-qn f[n].                                            

        n=0                 

Связь между изображением решетчатой функции F*(q, ε) и изображением F(q) соответствующей непрерывной функции определяется соотношением

      :           

F*(q, ε) =  Σ  e(q+2πjrF(q+2πjr),                                                      (3.33)             

                  r = -:      

где ε изменяется в интервале 0 < ε £ 1.

При ε =0 соотношение (3.33) принимает вид

  1              :           

F*(q) = — f[0]  +  Σ   F(q+2πjr),                                                     (3.34)             

              2             r = -:       

То обстоятельство, что из соотношения (3.33) не следует соотношение (3.34) при ε = 0, если только f[0] ¹ 0, связано с известным свойством рядов Фурье, состоящим в том, что сумма ряда Фурье в точке разрыва первого рода равна среднему арифметическому значению функции справа и слева от точки разрыва.

Соотношения (3.33) и (3.34) позволяют по изображению F(q) непрерывной функции f(t) найти изображение F*(q, ε) соответствующей решетчатой функции f[n, ε] при любом фиксированном значении ε. Соотношения (3.33) или (3.34), связывающие изображения непрерывной и решетчатой функций, можно рассматривать как преобразование, устанавливающее соответствие между этими изображениями.

Обозначив операцию этого преобразования через D{F(q)} запишем (3.33) в виде

                         :                

F*(q, ε) =  D{F(q)} = Σ  e(q+2πjrF(q+2πjr),                                                             (3.35)                                      r = -:            

Выражение (3.35) определяет прямое D-преобразование. D-преобразование и D-преобразование связаны между собой соотношением

D{ f[n, ε] } =  D{L{f(t)}}.

Пример 9.Рассмотрим единичную ступенчатую функцию f(t) = 1(t).Её изображение

согласно (3.34) получаем

С другой стороны, известно, что

Следовательно,

Последний результат совпадает с результатом, полученным в примере №1 раздела 3.1.1.

Рассмотрим теперь вопрос об установлении физического смысла D-преобразования. Для этого от изображений перейдем к спектрам непрерывной F(jv) и решетчатой F(jv,e) функций. Имеем следующее соотношение:

для e = 0 имеем также

Из последнего соотношения следует, что спектр F(jv) решетчатой функции f[n] равен с точностью до постоянного слагаемого 1/2f[0] сумме спектров соответствующей непрерывной  функции, смещенных по оси частот на величины  2pr,  где  r  изменяется от - ¥ до +¥.