Дискретные преобразования и их основные свойства, страница 3

Теорема смещения является теоремой двойственности для теоремы сдвига. В этих теоремах операции в области оригиналов и изображений поменялись местами.

Пример 3. Найдем изображение решетчатой функции f[n] = elnsh an

Воспользовавшись изображением sh an, получаем на основании теоремы смещения:

Теорема 3. Изображение разностей.

Для первой разности решетчатой функции

Δf[n] = f[n+1] – f[n]

на основании теорем линейности и сдвига получаем

D{Δf[n]} = (eq – 1)F*(q) - eq f[0]                                                     (3.15)

Для второй разности решетчатой функции

Δ2f[n] = Δf[n+1] – Δf[n]

На основании теоремы сдвига и соотношения (3.15) после преобразования получаем

D{Δ2f[n]} = (eq – 1)2F*(q) - eq (eq -1)f[0] - eq Δf[0]                        (3.16)

Для k-ой разности решетчатой функции получается следующее выражение:

                                                                  k-1        

D{ Δkf[n]} = (eq – 1)k F*(q) + eq Σ (eq – 1)k-1-r Δrf[0]                     (3.17)                                                                                            r=1             

Здесь нужно считать  Δ0f[0] = f[0].

Пример 4. Найдем изображение первой разности экспоненциальной решетчатой функции f[n] = ean. По формуле (3.15) получаем:

eq                        eq(ea  – 1)

D{Dean} = (eq –1) ———— - e-q  =  ————.

            eq – ea                                eq – ea

Теорема 4. Изображение суммы

Рассмотрим функцию, определяющую сумму решетчатой функции:

                         n-1             

f[n] =   Σ f[m] 

m=0                            

Изображение разности функции f[n] в соответствии с предыдущей теоремой равно:

 n-1                                                                            n-1 

   D{D Σ  f[m] } = D{f[n]} = (eq -1) D{D Σ  f[m] },

 m=0                                                                                 m=0          

так как значение суммы при n = 0 равно нулю. Следовательно, изображение от суммы решетчатой функции f[m] определяется как

n-1                        F*(q) 

   D{DΣ  f[m] } =  ———.                                                 (3.18)

m=0                             eq – 1   

Пример 5. Найдем оригинал, соответствующий изображению

eq

F*(q) =  ———————.

    (eq – 1)(eq – ea)

замечая, что

       eq

F*(q) =  ——— = D{ ean},

   (eq – ea)

находим согласно теореме о сумме решетчатой функции

                            F*(q)               n-1

——— =   D{Σ  eam }.                                                     

                                     eq – 1              m=0          

Но

n-1                   ean -1

Σ  eam = ——— ,                                                    

                  m=0                  ea -1

следовательно,

eq                           1 - ean

F*(q) =  ——————— = D{ ——— }.

    (eq – 1)(eq – ea)              1 - ea

Найденная решетчатая функция показана на рис. 3.4 для a = -0,5 и a = 0,5.

Рис. 3.4. Решетчатая функция  в примере 5.

Примеры применения теорем об изображении разностей и сумм показывают, что множитель q 1) в дискретном преобразовании Лапласа играет роль параметра преобразования q или s в обычном преобразовании Лапласа, и устанавливают связь формального операторного метода в теории разностных уравнений с дискретным преобразованием Лапласа.

Эти свойства наряду с теоремой сдвига лежат в основе метода решения линейных разностных уравнений.

Теорема 5. Умножение изображений (теорема свертывания в вещественной области).

Эта теорема является одной из наиболее важных для приложений теорем. Она дает возможность найти оригинал произведения изображений, если известны оригиналы сомножителей.

Пусть

Образуем произведение

Произведя перемножение рядов в правой части равенства при Re q > sc, где sc - наибольшая из абсцисс сходимости, получим:

 

так как при n < m решетчатые функции равны нулю.

Согласно определению D-преобразования получаем

(3.19)

Эти формулы называются формулами свертывания в вещественной области.

Теорема 6. Конечное значение решетчатой функции (теорема о конечном значении). Теорема устанавливает соотношение между изображением и конечным значением решетчатой функции.

Для несмещенной решетчатой функции справедливо следующее соотношение:

lim f[n] = lim (eq – 1)F*(q).                                                              (3.20)             

n":            q"0

аналогично для смещенной решетчатой функции:

lim f[n,e] = lim (eq – 1)F*(q,e).                                                                    (3.21)

n":                q"0

Пример 6.

Пример 7.

           

Теорема 7. Начальное значение решетчатой функции (теорема о начальном значении).

Для несмещенной решетчатой функции справедливо следующее соотношение:

f[0] = lim f[n] = lim (1 - e-q)F*(q) =  lim F*(q),                               (3.22)

n"0q"¥                               q"¥

аналогичное соотношение для смещенной решетчатой функции: