множество всевозможных пар называется прямым произведением множества A на множество B и обозначается A×B.
Ясно, что график функции f — это подмножество прямого произведения A×B:
= {(x;y) A×B : y = f (x)}A×B.
В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в ×[- 1;1]; график примера 1.3 — подмножество в × = 2; оба графика примера 1.6 — подмножества в +×+ = +2 (здесь мы ввели обозначение + = [0; + ), которого будем придерживаться и далее).
Пример 1.8.
Пусть A — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости 2 с координатами x1 и x2, с центром в точке O(0;0). Функцию f в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки (x1;x2) до центра. Таким образом, f (x) = , где x = (x1;x2) AR2.
Графиком этой функции является подмножество прямого произведения A×. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве 2× = 3. Обозначим координаты точек в 3 через x1, x2, y. Тогда графику принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения y = и x12 + x22 1.
Множество Гf представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке (0;0;0), с высотой 1 и радиусом основания 1.
Рис.1.7. График расстояния до точки O — это конус
Как мы видим, в случае, когда A — подмножество плоскости 2, график числовой функции f : A — это подмножество точек пространства 3. Если же A — подмножество точек пространства 3, то графиком числовой функции f : A будет подмножество четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества A×3× = 4. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график описать каким-то иным способом.
Пример 1.9.
Пусть A = 3 и для каждой точки x = (x1;x2;x3) 3 значение функции f в этой точке — это квадрат расстояния от x до точки O(0;0;0), то есть f (x) = x12 + x22 + x32 = | x|2. Тогда график — это подмножество в 4:
= {(x1, x2, x3, y) 4 : y = x12 + x22 + x32}.
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула y = x12 + x22 + x32 позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью
{(x1, x2, x3, y) 4 : x2 = 0, x3 = 0} — это парабола y = x12 в плоскости x1Oy, а сечение трёхмерным пространством {(x1, x2, x3, y) 4 : y = 0} — это одна точка (0;0;0;0).
Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.
Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного в примерах 1.1, 1.4 до задания функции формулой вида y=f (x) в примерах 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9. Способ задания функции f : AB зависит от того, какова природа множеств A и B и как по заданному x A определяется y=f (x) B. Выделим основные из этих способов.
1.2. Первый способ задания функции: табличный
Если множество A = (f ) конечно и состоит из N элементов x1, x2,..., xN, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе x A. Часто это делают в виде таблицы:
x |
x1 |
x2 |
... |
xN |
y |
y1 |
y2 |
... |
yN |
В верхней строке таблицы перечисляются все N элементов конечного множества A, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.
Пример 1.10.
В отделе кадров составляют таблицу, в которой в первом столбце содержатся фамилии и инициалы работников, а во втором — серии и номера их паспортов. Такая таблица задаёт функцию f — соответствие между множеством A работников предприятия и множеством B кодов (код — это серия и номер) паспортов. Полученная таблица может выглядеть, например, так:
Фамилия И.О. |
Паспорт: серия, |
номер |
Абрамов В.П. |
II-СИ |
356531 |
Бархударов Ш.Х. |
VII-ПЮ |
785305 |
Виноградов А.В. |
XII-ЧФ |
015628 |
Гусева Т.И. |
IV-БШ |
764285 |
... |
... |
... |
Определённая таким способом функция f — это инъекция, так как ни у каких двух человек не могут оказаться паспорта с одинаковым кодом (серия, номер).
Другая форма таблицы удобна для функции f : AB, заданной на прямом произведении двух множеств A1 и A2, то есть когда A = (f )= A1×A2, причём множества A1 и A2 конечные: A1 = {x1(1), x1(2),..., x1(m)} и A2 = {x2(1), x2(2),..., x2(n)}. Перечислим все элементы множества A1 по вертикали, а A2 — по горизонтали. В пересечениях строки и столбца, содержащих элементы
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.