Определение. Задача нахождения решения уравнения
, удовлетворяющего условию
(5.10)
называется задачей Коши.
Условие (5.10) называется начальным условием.
Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет в этой окрестности ограниченную частную производную , т.е. . Тогда в некотором интервале существует единственное решение задачи Коши
Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что через каждую точку, удовлетворяющую условиям теоремы Коши, проходит только одна интегральная кривая.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
. (5.11)
Способ решения. Считая, что , разделим обе части уравнения (5.11) на и умножим на : . Проинтегрировав обе части, получим:
.
Пример. . ; ; .
Замечание. Уравнения с разделяющимися переменными может иметь и другой вид. Например,
Определение. Функция называется однородной степени функцией, если для всех выполняется равенство
.
Определение. Дифференциальное уравнение
(5.12)
называется однородным, если однородная функция степени 0, то есть если
.
Способ решения. Сделаем в уравнении (5.12) замену :
.
Так как однородная функция степени 0, то и получаем уравнение , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Проинтегрировав обе части, подставляем вместо выражение .
Рассмотрим уравнение вида
(5.13)
Это уравнение можно привести к виду
.
Если - однородная функция степени , а - однородная функция степени , то
.
Определение. Уравнение вида
(5.14)
называется линейным.
Если , то уравнение называется однородным линейным. Если , то уравнение называют неоднородными линейным.
Линейные дифференциальные уравнения можно решать с помощью метода Лагранжа или метода Бернулли.
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Сначала находим решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.14):
.
.
Затем ищем решение неоднородного уравнения (5.14) в виде
. (5.15)
Подставляем (5.15) в уравнение (5.14):
,
.
Отсюда находим . Подставляя в (5.15), получаем решение уравнения (5.14):
.
Пример. Решить уравнение . Воспользуемся методом Лагранжа.
1) Найдем решение однородного уравнения
.
Будем искать решение неоднородного уравнения в виде
. (5.16)
Подставим (5.16) в исходное уравнение: . Упрощая, получаем: . Находим отсюда функцию :
.
2) Подставляя полученное выражение в (5.16), получаем решение исходного уравнения:
.
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
(5.17)
Уравнение Бернулли решается методом Бернулли, который заключается в следующем.
Решение уравнения (5.17) ищется в виде
. (5.18)
Подставим (5.18) в уравнение (5.17):
.
В левой части вынесем за скобки, например, функцию :
(5.19)
Функцию выбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:
. (5.20)
.
Так как нас устраивает любая функция , удовлетворяющая уравнению
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.