Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі

2. ЛІМІТЫ І НЕПАРЫЎНАСЦЬ

2.1. ЛІКАВЫЯ ФУНКЦЫІ І ПАСЛЯДОЎНАСЦІ

Няхай зададзена лікавае мноства , і кожнаму  паводле некаторага правіла  ставіцца ў адпаведнасць адзін лік . Тады гавораць, што на мностве  вызначана лікавая функцыя (або проста функцыя) і пішуць .

Зменную х называюць незалежнай зменнай або аргументам функцыі, мноства – абсягам вызначэння функцыі . Для абазначэння абсягу вызначэння і мноства значэнняў функцыі  карыстаюцца адпаведна сімваламі  і .

Калі кожнаму натуральнаму ліку (нумару)  ставіцца ў адпаведнасць лік , то гавораць, што зададзена лікавая паслядоўнасць  або, карацей, паслядоўнасць . Інакш кажучы, паслядоўнасцю называюць функцыю, зададзеную на мностве натуральных лікаў. Лік  называюць n-ым элементам паслядоўнасці. Паслядоўнасць можа быць зададзена формулай агульнага элемента ; рэкурэнтнай формулай, напрыклад ; іншымі спосабамі.

ЗАДАЧЫ

2.1.  Няхай зададзена функцыя . Знайдзіце   і дакажыце, што гэтыя лікі ўтвараюць арыфметычную прагрэ-сію.

2.2.  Знайдзіце f(0), f(x) + 2, f(x+ 2), f(), 1/f(x), калі: 1) f(x) = ;      2) f(x) = x– 2x+ 2.

2.3.  Знайдзіце f(x), калі: 1) f(x+ 1)=2 x+ 3;       2) f() = .

2.4.  Зададзена функцыя Дырыхле D(x) =     1) Знайдзіце D(3/4), D(), D(log8). 2) Дакажыце, што D(x+ ) = D(x) для любых цэлых p і q.

2.5.  Функцыя sgn x (чытаецца сігнум ікс) задаецца формулай sgn x= . 1) Дакажыце, што xsgn x= . 2) Знайдзіце sgn x пры x= sin, x= sin, x= sin.

2.6.  Зададзена функцыя Хэвісайда η(x)=   Знайдзіце: 1) η(х – а);        2) η(х – а)+η(х – b).

2.7.  Няхай зададзены чатыры лікі х, х, y, y, прычым . Праверце, што функцыя P(x)= з’яўляецца мнага-складам не вышэй чым першай ступені і задавальняе ўмовы P(x) = y, P(x) = y.

2.8.  Няхай зададзены тры розныя лікі х, х, х і любыя лікі у, у, у. Праверце, што функцыя     P(x)=  з’яўляецца мнагаскладам не вышэй, чым другой ступені, прычым P(x) = y, P(x) = y, P(x) = y.

2.9.  Знайдзіце мнагасклад Р(х) ступені не вышэй за n, які задавальняе ўмовы P(x) = y, P(x) = y, …, P(x) = y, дзе х, у,  – любыя зададзеныя лікі, прычым xx, калі ij. ( Р(х) у такім выпадку называюць інтэрпаляцыйным мнагаскладам.)

2.10.  Дакажыце, што функцыя f(x)= задавальняе ўмовы: 1)  = – f(x);       2) x= 1. 

2.11.  Знайдзіце абсяг вызначэння наступных функцый: 1) f(x) = ; 2) f(x) = ; 3) f(x) = ;   4) f(x) =  (a); 5) f(x) = ;       6) f(x) = ; 7) f(x) = lg();                8) f(x) = arcsin(1–х); 9) f(x) = .

2.12.  Прывядзіце прыклад функцый f(x) і g(x), зададзеных формуламі, у якіх: 1) D(f) =  за выключэннем пунктаў х = 0, х = 1, х =2;          2)D(g) = [c; d], дзе  a<b<c.

2.13.  Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: 1) f(x) = 2x–4, x[–2, 2]; 2) f(x) = , x[0, 3]; 3) = 2x+ sgnx, x;  4)  = x, x[–2, 1];  5) f(x) = x+, x(0, +).

2.14.  Знайдзіце φ(f(x)) і f(φ(x)) , ці кампазіцыі φf  і fφ, калі: 1) φ(x) = x, f(x) = 10;     2) φ(x) =  f(x) = 2x+ 1.

2.15.  Няхай , , . Запішыце формулы, якія задаюць кампазіцыі: 1) fgφ;  2) gφf ;  3) φgf .

2.16.  Няхай  (n-кампазіцый). Знайдзіце f(x), f(x) і f(x) калі: 1)f(x) = ;   2) f(x) = 2x+ 1;    3) f(x) = ax+ b.

2.17.  Зададзена функцыя f(x). Ці заўсёды існуюць дзве такія функцыі φ(x) і g(x)  (φ(x)x, g(x)x), што f(x) = φ(g(x)) ?

2.18.  Знайдзіце абсяг вызначэння складанай функцыі f(g(x)), калі: 1) f(x) = lg x, g(x) = sin x;    2) f(x) = sin x, g(x) = lg x.

2.19.  Пабудуйце графікі функцый:

2.20.  У адной сістэме каардынат пабудуйце графікі функцый , калі: 1) p= 1, 2, 3;       3) p= –1, –2, –3;          2) p= 1, ,;  4) p= –1, , .

2.21.  Пабудуйце графікі функцый , , –, , , , калі:                 1) = 2x– 1;   2) = x– 2x;   3)  = cos 2x .     

2.22.  Чым адрозніваюцца графікі функцый , , , , , , , , (a> 0) ад графіка функцыі ?

2.23.  Знайдзіце 5 першых элементаў паслядоўнасці, зададзенай формулай агульнага элемента: 1) ;   2) ;   3) ;   4) ; 5) ; 6) ; 7) , дзе , .

2.24.  Паслядоўнасць зададзена рэкурэнтнай формулай. Знайдзіце 4 першыя элементы паслядоўнасці: 1) , ; 2) , ; 3) , .

2.25.  Знайдзіце формулу агульнага элемента паслядоўнасці, у якой элементы з цотнымі нумарамі роўныя 1, а элементы з няцотнымі нумарамі роўныя 0.