Няхай зададзена лікавае мноства
, і кожнаму
паводле
некаторага правіла
ставіцца
ў адпаведнасць адзін лік
.
Тады гавораць, што на мностве
вызначана
лікавая функцыя (або проста функцыя) і пішуць
.
Зменную х называюць незалежнай
зменнай або аргументам функцыі, мноства – абсягам
вызначэння функцыі
.
Для абазначэння абсягу вызначэння і мноства значэнняў функцыі
карыстаюцца
адпаведна сімваламі
і
.
Калі кожнаму натуральнаму ліку (нумару) ставіцца ў
адпаведнасць лік
, то
гавораць, што зададзена лікавая паслядоўнасць
або, карацей, паслядоўнасць
. Інакш кажучы,
паслядоўнасцю называюць функцыю, зададзеную на мностве натуральных лікаў. Лік
называюць n-ым элементам
паслядоўнасці. Паслядоўнасць можа быць зададзена формулай агульнага элемента
; рэкурэнтнай
формулай, напрыклад
;
іншымі спосабамі.
2.1.
Няхай зададзена
функцыя . Знайдзіце
і дакажыце,
што гэтыя лікі ўтвараюць арыфметычную прагрэ-сію.
2.2.
Знайдзіце f(0), f(x) + 2, f(x+ 2), f(),
1/f(x), калі:
1) f(x) =
; 2) f(x) = x
– 2x+ 2.
2.3.
Знайдзіце f(x), калі: 1) f(x+ 1)=2 x+ 3; 2) f() =
.
2.4.
Зададзена функцыя Дырыхле
D(x) =
1) Знайдзіце
D(3/4), D(
), D(log
8).
2) Дакажыце, што D(x+
) = D(x) для любых цэлых p і q.
2.5.
Функцыя sgn x (чытаецца сігнум ікс) задаецца
формулай
sgn x= . 1) Дакажыце, што xsgn x=
.
2) Знайдзіце sgn x
пры x= sin
, x= sin
, x= sin
.
2.6.
Зададзена функцыя
Хэвісайда η(x)=
Знайдзіце:
1) η(х – а); 2) η(х – а)+η(х –
b).
2.7.
Няхай зададзены чатыры
лікі х, х
, y
, y
, прычым
. Праверце, што
функцыя P(x)=
з’яўляецца мнага-складам не вышэй чым першай
ступені і задавальняе ўмовы
P(x
) = y
, P(x
) = y
.
2.8.
Няхай зададзены тры
розныя лікі х, х
, х
і любыя лікі у
, у
, у
. Праверце, што
функцыя
P(x)=
з’яўляецца мнагаскладам не вышэй, чым другой ступені, прычым P(x
) = y
, P(x
) = y
, P(x
) = y
.
2.9.
Знайдзіце мнагасклад Р(х)
ступені не вышэй за n, які задавальняе ўмовы P(x) = y
, P(x
) = y
, …, P(x
) = y
, дзе х
, у
,
– любыя
зададзеныя лікі, прычым x
x
, калі i
j. ( Р(х) у такім выпадку
называюць інтэрпаляцыйным мнагаскладам.)
2.10.
Дакажыце, што функцыя f(x)= задавальняе ўмовы:
1)
= – f(x); 2) x
= 1.
2.11.
Знайдзіце абсяг
вызначэння наступных функцый:
1) f(x) = ; 2) f(x) =
; 3) f(x) =
;
4) f(x) =
(a
); 5) f(x) =
; 6) f(x) =
; 7) f(x) = lg(
); 8) f(x) = arcsin(1–х); 9) f(x) =
.
2.12.
Прывядзіце прыклад
функцый f(x) і g(x), зададзеных формуламі, у якіх: 1) D(f) = за выключэннем пунктаў х = 0, х =
1, х =2;
2)D(g) =
[c; d], дзе a<b<c.
2.13.
Знайдзіце мноства
значэнняў функцыі:
1) f(x) = 2x–4, x[–2, 2]; 2) f(x) =
, x
[0, 3]; 3)
= 2x+ sgnx, x
;
4)
= x
, x
[–2, 1]; 5) f(x) = x+
, x
(0, +
).
2.14.
Знайдзіце φ(f(x)) і f(φ(x)) , ці кампазіцыі φf і f
φ, калі:
1) φ(x) = x
, f(x) = 10
; 2) φ(x) =
f(x) = 2x
+ 1.
2.15.
Няхай ,
,
. Запішыце
формулы, якія задаюць кампазіцыі: 1) f
g
φ; 2) g
φ
f ; 3) φ
g
f .
2.16. Няхай (n-кампазіцый). Знайдзіце f
(x), f
(x) і f
(x) калі: 1)f(x) =
; 2) f(x) = 2x+ 1; 3) f(x) = ax+ b.
2.17. Зададзена функцыя f(x). Ці заўсёды існуюць дзве такія функцыі φ(x) і g(x) (φ(x)x, g(x)
x), што f(x) = φ(g(x)) ?
2.18.
Знайдзіце абсяг
вызначэння складанай функцыі f(g(x)), калі:
1) f(x) = lg x, g(x) = sin x;
2) f(x) = sin x, g(x) = lg x
.
2.19. Пабудуйце графікі функцый:
1) y=
x+ 2;
2) y= ;
3) y= 2x– 3x
;
4) y=
; 5) y=
;
6) y=
;
7) y= x+
;
8) y= sinax, а = 1; 2;
,
0
x
2
;
9)y=sgn(x
–4);
10) y= sgn(sinx);
11) y=
, дзе
–
цэлая частка x;
12) y=
, дзе
– дробная
частка x;
13) y= cosx+
.
2.20.
У адной сістэме
каардынат пабудуйце графікі функцый ,
калі: 1) p= 1, 2, 3; 3) p= –1, –2, –3;
2) p= 1,
,
; 4) p= –1,
,
.
2.21.
Пабудуйце графікі
функцый ,
, –
,
,
,
, калі:
1)
=
2x– 1; 2)
=
x– 2x
; 3)
= cos 2x .
2.22. Чым адрозніваюцца графікі функцый ,
,
,
,
,
,
,
, (a> 0) ад графіка функцыі
?
2.23. Знайдзіце 5 першых элементаў паслядоўнасці, зададзенай формулай агульнага
элемента:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
; 7)
, дзе
,
.
2.24.
Паслядоўнасць
зададзена рэкурэнтнай формулай. Знайдзіце 4 першыя элементы паслядоўнасці:
1) ,
; 2)
,
; 3)
,
.
2.25. Знайдзіце формулу агульнага элемента паслядоўнасці, у якой элементы з цотнымі нумарамі роўныя 1, а элементы з няцотнымі нумарамі роўныя 0.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.