Теоремы о дифференцируемых функциях. Производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций с помощью производной. Понятие неопределенного интеграла

 Тема 1. Теоремы о дифференцируемых функциях

1.  Теоремы Ферма, Ролля, Лангража, Коши.

2.  Правоило Лапиталя.

Теорема Ферма. Если функция  у = f(x) дифференцируема в точке х₀ и имеет в этой точке экстремум, то ее производная при х = х₀ обращается в нуль, т. е. f´(x₀) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), а  на концах отрезка имеет равные значения f(a) = f(b), то в интервале (a, b),найдется хотябы одна точка с, в которой производная равна нулю.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в интервале (a, b) найдется хотя бы одна точка с, в которой:

.

Теорема Коши. Если  у =  f(x) и у = φ(х) – две функции, непрерывные на [a, b] и дифференцируемые на (a, b), причем  для всех , то между a и b найдется точка с, такая что .

Правило Лопиталя. Если функции f(x) и q(х) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х₀ за исключением, быть может, самой точки х₀, причем в этой окрестности , и если , или , то .

Тема 2.   Производные и дифференциалы высших порядков

1.   Определение дифференциала.

2. Определение производных и дифференциалов высших порядков, формулы для вычисления.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Тогда если существует такое число А, что приращение  этой функции в точке , соответствующее приращение аргумента, представимо в виде:

, где  то функция f(x) называется дифференцируемой в точке. При этом главная, линейная относительно , часть этого приращения, т.е.  называется дифференциалом функции в точке  и обозначается  или .

Пусть имеется функция  у = f(x). Производную  этой функции будем называть первой производной. Второй производной (производной второго порядка) функции у = f(x) называется производная от ее первой производной. Обозначается:

.

Аналогично определяется третья, четвертая и т. д. производная. п-ой  производной функции у = f(x) называется производная ее (п – 1)-ой производной. Обозначается:

.

Если х – независимая переменная и у = f(x) – дифференцируемая функция, то . Этот дифференциал будем называть дифференциалом первого порядка. Считая dх постоянной, заключаем, что df(x) – функция одной переменной х. Предположим, что функция f(x) имеет п последовательных производных:

.

Дифференциалом второго порядка функции у = f(x) называется дифференциалом от дифференциала первого порядка этой функции т. е.   d²y = d[dy],  или .

Тема 3. Исследование функций с помощью производной

1. Экстремум функции.
2. Необходимые и достаточные условия нахождения экстремума.
3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
4. Асимптоты графика функции.

5.   схема исследования функции.

Теорема (достаточный признак возрастания).  Пусть функция  у = f(x) непрерывна и дифференцируема на  отрезке [а, b]. Если для всех  , то функция возрастает на [а, b].

Теорема (достаточный признак убывания).  Пусть функция у = f(x) непрерывна и дифференцируема на [а, b], если для всех   , то функция убывает на [а, b].

Точки максимума и минимума функции у = f(x) называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Понятие экстремума носит локальный характер. Это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежащими значениями.

Теорема. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. Если в точке х₀ производная функции равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку, то х₀ является точкой экстремума, причем:

1. х₀ – точка максимума, если знак меняется с “+” на “–“.

2. х₀ – точка минимума, если знак меняется с “–“ на “+”.

Теорема. Если в точке х₀ первая производная функции у = f(x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х₀ является точкой экстремума, причем:

1. х₀ – точка минимума, если .

2. х₀ – точка максимума, если .

График функции у = f(x) называется выпуклым вниз на данном отрезке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке.

График функции у = f(x) называется выпуклым вверх на данном отрезке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке.

Теорема. Если вторая производная функци у = f(x) в данном промежутке положительна, то график функции является выпуклым вниз в этом промежутке. Если в данном промежутке, то график функциии является выпуклым вверх в этом промежутке.

Теорема. Если в точке х₀  вторая производная функции у = f(x) обращается в нуль