Вычисление определенного интеграла. Формулирование правила Рунге для практической оценки погрешности формулы

Страницы работы

Содержание работы

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 1.

1. Привести квадратурную формулу средних прямоугольников для приближенного вычисления интеграла , выражение для остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла с помощью формулы из п.1 с заданной точностью e. Точность формулы оценивать по правилу Рунге.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число узлов; m – предельное число узлов.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S– приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл

 с точностью e=10-4.                                                             (*)

Вычислить аналитически точное значение интеграла и погрешность его приближения Sk. Пользуясь теоретической оценкой погрешности формулы (п.1), найти число узлов, обеспечивающее ту же точность вычисления интеграла (*).

Литература.

1. Волков Е.А. Численные методы. М.1982.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 2.

1. Привести составную квадратурную формулу трапеций (СКФТ) для приближенного вычисления интеграла , выражение для ее остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла по СКФТ с заданной точностью e. Точность (погрешность) формулы оценивать по правилу Рунге. Предусмотреть в программе экономизацию вычисления квадратурной суммы при переходе к половинному шагу.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число узлов; m – предельное число узлов.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S– приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл

 с точностью e=10-5.                                                         (*)

Вычислить аналитически точное значение интеграла и погрешность его приближения Sk. Пользуясь теоретической оценкой погрешности формулы (п.1), найти число узлов, обеспечивающее ту же точность вычисления интеграла (*).

Литература.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы., Наука, М.1973.

2. Волков Е.А. Численные методы. М.1982.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 3.

1. Привести составную квадратурную формулу Симпсона (СКФС) для приближенного вычисления интеграла , выражение для ее остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла по СКФС с заданной точностью e. Точность (погрешность) формулы оценивать по правилу Рунге. Предусмотреть в программе экономизацию вычисления квадратурной суммы при переходе к половинному шагу.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число узлов; m – предельное число узлов.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S– приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл

 с точностью e=10-4.                                                             (*)

Вычислить аналитически точное значение интеграла и погрешность его приближения Sk.

Пользуясь теоретической оценкой погрешности формулы (п.1), найти число узлов, обеспечивающее ту же точность вычисления интеграла (*).

Литература.

1. Волков Е.А. Численные методы. М.1982.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 4.

1. Привести составную квадратурную формулу Гаусса (СКФГ) для приближенного вычисления интеграла , выражение для ее остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано. В качестве основной использовать КФГ с 2 узлами; координаты этих узлов для отрезка [-1, 1] и соответствующие им коэффициенты взять из книги [1]. Шаг разбиения отрезка [a, b] – постоянный.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла по СКФГ (с двумя узлами в основной формуле) с заданной точностью e. Точность (погрешность) формулы оценивать по правилу Рунге.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число отрезков разбиения отрезка [a, b]; m – предельное число этих отрезков.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S– приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Контрольные работы
Размер файла:
511 Kb
Скачали:
0