РГР2. Случайные величины.
Двумерные дискретные случайные величины
Задача №1 .
· Описать закон распределения случайного вектора (X,Y)
· Описать законы распределения отдельных компонент
· Найти ковариационную (корреляционную) матрицу
· Найти условные законы и условные мат. ожидания
· Найти функцию распределения
· Установить зависимость компонент X и Y
Двумерные непрерывные случайные величины
Задача №2 .
Найти:
1. выражение для
2. одномерные плотности
3. центр рассеивания
4. сделать вывод о зависимости X и Y
5. найти
6. плотности условных распределений
Пусть () – вероятностное пространство (- пространство элементарных событий, S - -алгебра событий, -вероятности событий); - множество вещественных чисел.
Будем обозначать случайную величину, - принимаемые этой величиной значения.
Определение. Случайной величиной называется числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий , которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число : , причем функция должна быть такова, чтобы событие принадлежало -алгебре событий S, то есть для любого определена вероятность .
Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , которая равна вероятности события :
Тогда есть неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая свойствам:
1.
2.
3.
Дискретные случайные величины
Определение. Случайная величина, принимающая конечное или счётное число значений, называется дискретной.
Определение. Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой таблицу, в которой значениям, принимаемым случайной величиной, сопоставлены их вероятности, причём, события образуют полную группу событий, то есть (условие нормировки):
…. |
||||
P |
…. |
Функция распределения дискретной случайной величины.
Основные численные характеристики: начальный момент, центральный момент, математическое ожидание, дисперсия
Определение. Начальный момент порядка k:
В случае дискретной случайной величины:
В случае непрерывной случайной величины:
Определение. Математическое ожидание
Определение. Дисперсия
Определение. Среднее квадратическое отклонение
Свойства
MX |
DX |
|
Определение. Центральный момент порядка k:
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:
В частности,
Непрерывные случайные величины
Плотность распределения.
Определение.
Свойства.
1.
2.
3.
4.
Равномерный закон распределения.
Определение. Равномерное распределение на отрезке:
Определение. Равномерное распределение в области D площадью SD:
Задачи из теста
График функции распределения имеет вид:
Найти математическое ожидание MX.
Двумерные случайные величины
Дискретные двумерные случайные величины.
Пусть случайные величины и имеют законы распределения:
P |
и
Y |
||||
P |
Определение 5. Случайные величины и называются независимыми, если независимы события и .
· Описать закон распределения случайного вектора (X,Y)
Пусть дискретная двумерная случайная величина (X,Y) задана распределением:
X\Y |
y1 |
… |
ym |
x1 |
P11 |
P1n |
|
… |
… |
pij |
… |
xn |
Pn1 |
… |
Pnm |
Из распределения двумерной случайной величины можно получить законы распределения для одномерных случайных величин:
X\Y |
y1 |
y2 |
X |
x1 |
P11 |
P12 |
Px1= P11+ P12 |
x2 |
P12 |
P22 |
px2= P12+ P22 |
Y |
Py1= P11+ P12 |
Py2= P12+ P22 |
1 |
· Описать законы распределения отдельных компонент
X |
P |
x1 |
Px1= P11+ P12 |
x2 |
px2= P12+ P22 |
Y |
y1 |
y2 |
P |
Py1= P11+ P12 |
Py2= P12+ P22 |
· Найти ковариационную (корреляционную) матрицу
Определение. Ковариацией называется
Определение. Коэффициентом корреляции называется
Определение. Ковариационной матрицей называется
· Найти условные законы и условные мат. ожидания
· Найти функцию распределения
· Установить зависимость компонент X и Y
Непрерывные двумерные случайные величины.
1. выражение для
2. одномерные плотности
3. центр рассеивания
4. сделать вывод о зависимости X и Y
5. найти
6. плотности условных распределений
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.