10.6-А. Свойства диэлектрической проницаемости и волнового числа. Исследуем зависимость от частоты параметров и .
Для фазовой скорости имеем представление
.
Функция связана с относительной комплексной диэлектрической проницаемостью изотропной среды с пространственной дисперсией формулой
.
Имеет место представление Фурье для процесса, начинающегося в момент времени ( при ):
.
В среде без пространственной дисперсии функция обладает свойствами:
.
Выше отмечалось, что любая среда для достаточно высоких частот ведет себя как вакуум. В этой области частот, пренебрегая пространственной дисперсией, воспользуемся разложением
. (10.28)
В квадратных скобках формулы (10.28) отсутствует слагаемое вида . При этом в пределе имеем , . Если бы в (10.28) присутствовал член , то имело бы место представление при . Последнее представление противоречило бы закономерности при .
10.7. Распространение переднего фронта нестационарной волны. Интегральное представление одномерного нестационарной волны, распространяющейся в направлении и соответствующей одному из типов волн в однородной среде ( - корень дисперсионного уравнения ). В среде с потерями для такой волны .
, (10.29)
Где функция имеет передний на уровне :
.
Согласно (10.29) имеем представление
.
Особые точки подынтегральной функции в (10.29) лежат в нижней полуплоскости . Это обеспечивает выполнение принципа причинности (поле возникает только после включения источника). Соотношение (10.29) представляется в виде
, (10.30)
,
Где называется импульсной функцией:
, (10.31)
она обладает свойством ( - дельта функция Дирака).
Покажем, что импульсная функция удовлетворяет принципу причинности. Особые точки функции для пассивных сред расположены в нижней полуплоскости. Выясним, при каких значениях аргумента импульсная функция станет отличной от нуля. При больших значениях , в области замыкания контура интегрирования на бесконечности, можно воспользоваться разложением (10.28) и будем иметь приближенное представление экспоненты
.
Это представление не используется при вычислении интеграла в (10.31), оно используется только для определения возможности замыкания контура при .
При выполнении условия имеется возможность замкнуть контур интегрирования на бесконечности в верхней полуплоскости . Так как внутри такого контура нет особых точек, то
при , . (10.32)
Если , то можно замыкать контур интегрирования на бесконечности в нижней полуплоскости . Наличие особых точек в нижней полуплоскости обеспечивает
при . (10.33)
Покажем, что передний фронт нестационарной волны движется со скоростью . Свойства (10.32), (10.33) позволяют поле представить в виде
. (10.34)
Поле при , так как интегрирование в формуле (10.34) проходит в области отрицательных значений переменной , где по условию включения . Это соответствует тому, что волновой процесс, порожденный полем еще не достиг уровня . Поле обладает свойством причинности:
(10.35)
это свидетельство того, что передний фронт нестационарного поля в любой среде распространяется со скоростью света в вакууме. Отдельные характерные точки (нули, максимумы,…) поля могут перемещаться со скоростью большей, чем , однако они тормозятся при приближении к фронту и не могут обогнать его.
10.8. Теоремы единственности для стационарных задач. Докажем теоремы единственности решения уравнений Максвелла для комплексных амплитуд стационарных полей в неоднородных изотропных средах с потерями. Исходные уравнения для комплексных амплитуд имеют вид
(10.36)
, (10.37)
где , . Существуют два типа задач: внутренние и внешние.
В случае внутренних задач по заданному стороннему току ищутся поля внутри объема (Рис. 10.3). На границе этого объема задаются условия для касательных составляющих полей
(10.38)
где поверхности и могут перекрываться. Докажем, что решение системы (10.36), (10.37) с условиями (10.38) единственно. Для этого допустим, что и два различных решения задачи. Тогда разностное решение должно удовлетворять системе (10.36), (10.37) без стороннего источника и это разностное решение удовлетворяет нулевым граничным условиям
. (10.39)
Для этого поля напишем известное энергетическое соотношение
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.