4. Граничные условия.Уравнения Максвелла в интегральной форме. Граничные условия.
4.1. Уравнения Максвелла для материальных сплошных сред в интегральной форме. Граничные условия. Дифференциальные системы уравнений Максвелла для материальных сплошных средв четырех, приведенных выше формах, эквивалентны. Применимы они лишь для описания полей в областях, где нет разрывов (скачков) соответствующих функций. На поверхностях разрыва функций происходит обращение в бесконечность производных. Необходимо иметь граничные условия (соотношения на разрыве) для «сшивания» полей по разные стороны от поверхности разрыва. Такая ситуация возникает, в частности на фронтах ударных волн по причине проявления нелинейности. В линейных задачах разрывы полей возникают на поверхностях (контактные поверхности), разделяющих среды с различными свойствами. Конечно, такая трудность возникает из-за чрезмерной идеализации в постановке задачи. В линейной ситуации поля будут изменяться непрерывно, если заменить границу раздела сред неоднородной переходной областью. Однако это приводит к большому усложнению решения задачи. По этой причине часто используется более «грубая» идеализация резкой границы раздела сред. Боле первичными по отношению к дифференциальным уравнениям Максвелла являются уравнения Максвелла в интегральной форме. Переход от дифференциальных уравнений к уравнениям в интегральной форме неоднозначен. «Наиболее первичными», являются уравнения Максвелла в интегральной форме в виде законов сохранения. По сути, это первичные постулаты электродинамики сплошных сред (в рамках теории сплошной среды они ни откуда не выводятся). Из этих уравнений и получаются граничные условия. Отметим, что предельный переход от неоднородной переходной области к резкой границе раздела сред, дает те же граничные условия, что и уравнения в интегральной форме в виде законов сохранения. Это является дополнительным аргументом правильности граничных условий, получаемых из уравнений в интегральной форме.
Начнем с вывода граничного условия для вектора магнитной индукции . Для этого используем интегральную форму
. (4.1)
Связь уравнения (4.1) с известным нам дифференциальным уравнением
(4.2)
можно увидеть, если проинтегрировать (4.2) по объему и использовать формулу Гаусса-Остроградского для перехода к виду (4.1). Применим (4.1) к цилиндру высотой (Рис. 4.1) и осью, перпендикулярной к границе раздела двух сред (1) и (2) и «вырезающему» из границы элемент поверхности Поток индукции в (4.1 ) складывается из потока через боковую поверхность (при этот поток стремится к нулю) и потока индукции через верхнее и нижнее основания цилиндра. Выберем площадь оснований настолько малой, чтобы компоненты и в пределах этих оснований в средах (1) и (2) были бы постоянными. Направления нормалей на основаниях цилиндра имеют противоположные направления, поэтому имеем , и формула (4.1) принимает вид
,
или .
Это условие непрерывности нормальной к границе раздела сред компоненте вектора магнитной индукции.
Получим теперь граничное условие для вектора электрической индукции
,
входящий в третью форму уравнений Максвелла . От дифференциального уравнения
(4.3)
можно прейти к первичной интегральной форме следующим способом: проинтегрируем (4.3) по объему
.
С учетом формулы Гаусса-Остроградского будем иметь первичную интегральную форму
, (4.4)
где - полный свободный заряд внутри объема , ограниченного площадками .
Не следует воспринимать приведенные рассуждения, как вывод уравнения (4.4) из (4.3). На самом деле первичным является уравнение (4.4). Более того: уравнение (4.4) это постулат.
Используем в качестве поверхность цилиндра, изображенного на Рис.4.1. Действуя аналогично тому, как это делалось при выводе граничного условия для вектора , получим соотношение
,
где - плотность свободного поверхностного заряда на границе раздела.
При получении граничных условий для векторов и будем исходить из
уравнений
, (4.5)
(4.6)
в соответствующей им первичной интегральной форме. С этой целью выберем прямоугольную площадку , перпендикулярную границе раздела и ограниченную контуром (Рис.4.2). Направления ортогональны друг другу. - нормаль к границе раздела. Вектор - лежит в плоскости границы раздела и вектор ортогонален площадке . Интегрирование по площади компонент уравнений (4.5), (4.6) по направлению и использование формулы Стокса, позволяет перейти к первичной интегральной форме уравнений (4.5), (4.6)
, (4.7)
. (4.8)
Выбирая величину достаточно малой, и устремляя вертикальный размер к нулю (при этом площадь стремится к нулю), будем иметь представления
, ,
, ,
, , , ,
получим из (4.7), (4.8) два граничные условия
, (4.9)
. (4.10)
Здесь -плотность поверхностного тока проводимости в направлении . Так как выбор (и соответственно выбор направления вектора ) произволен, граничное условие (4.9) можно записать в виде
,
где- произвольное касательное к границе раздела сред направление. Аналогичные рассуждения, позволяют представить граничное условие (4.10) в векторной форме
,
где - вектор плотности поверхностного тока проводимости.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.