Раздел I
Аффинные преобразования плоскости и пространства
Определение. Биективное отображение множества точек плоскости (пространства) на себя называется преобразованием плоскости (пространства).
Определение. Пусть на плоскости введены 2 АСК: I: Oē1ē2 и I’: O’ē’1ē’2, тогда преобразование плоскости при котором АСК I переходит в АСК I’, а произвольная т. М переходит в некоторую т. М’, которая в АСК I’ имеет те же координаты, что и т.М в АСК I, называется аффинным преобразованием (АП) плоскости.
М(х;у) в I
M→ М’(х;у) в I’
Определение.Пусть в пространстве введены 2 АСК: I:Oē1ē2ē3 и I’: O’ē’1ē’2ē’3, тогда преобразование пространства, при котором АСК I переходит в I’, а произвольная т.М переходит в т.М’, которая в АСК I’ имеет те же координаты что и т.М в АСК I, называется аффинным преобразованием пространства.
М(х;у;z) в I
M→ М’(х;у;z) в I’
Частный случай
Определение. АПплоскости (пространства), в которой ПДСК переходит в ПДСК, называется движением плоскости (пространства).
А – аффинное преобразование.
Д – движение.
М(x;y) в ПДСК Oīj (I)
Д
М → М’
М’(x;y) в ПДСК O’ī’j’ (I’)
М1(x1;y1) в I М1’(x1;y1) в I’
М2(x2;y2) в I М2’(x2;y2) в I’
Только ПДСК!!!
Утверждение
При движении расстояние между точками сохраняется.
Доказательство выше.
Свойства аффинных преобразований
Если при АП А , если в I , то и в I’
Доказательство:
Пусть
М1(x1;y1) М2(x2;y2) в I
А
М1→ М1’(x1;y1) в I’
М2→М2’(x2;y2) в I’
в I’
ч.т.д.
При А
Доказательство:
в I
в I
в I
в силу свойства
в I’
в I’
в I’
в I’
Доказательство:
в I
в I
в I’
в I’
в I’ =>
Пусть имеем и набор чисел
, тогда
Доказательство:
Линейно-зависимая система векторов при А переходит в линейно зависимую систему.
Пусть – лин. завис. система векторов
, где хотя бы одно число ≠0, для этой системы векторов выполняется равенство
А
=>- л/з по определению.
Преобразование обратное к аффинному преобразованию тоже является аффинным преобразованием.
I I’
М(x;y) в I→М’(x;y) в I’
М(x;y) в IМ’(x;y) в I’
Преобразование А-1 удовлетворяет определению аффинного преобразования.
Линейно-независимая система векторов при аффинном преобразовании переходит в линейно-независимую систему.
Доказательство: от противного.
Пусть лин.независ. сист. лин.завис. сист.
лин.независ. сист. лин.завис. сист.
Это противоречит свойству , получили противоречие. Наше предположение неверно.
л/н. сист. л/н. сист.
Пусть имеется аффинное преобразование A
I I’
М(x;y) в I→М’(x;y) в I’
тогда, если при этом преобразовании АСК (репер)
II II’
то для произв. т.М выполняется условие:
M(ξ;η) в II→ M’(ξ;η) в II’
(это свойство позволяет менять системы координат в определении А).
Композиция двух аффинных преобразований в плоскости А1 и А2 является снова аффинным преобразованием плоскости.
А1 А2
I→I’ II→II’
М(x;y) в I→М’(x;y) в I’ Р(ξ;η) в II→ Р’(ξ;η) в II’
Рассмотрим, в какую АСК перейдет система I’ при преобразовании А2. Пусть
В силу свойства точка М’
– композиция A1 и A2
АСК
Таким образом, композиция двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием по определению.
Пусть E – тождественное преобразование плоскости, оно является аффинным. (def)
E – единица в группе аффинных преобразований.
Рассмотрим аффинное преобразование А и А-1 оно является аффинным по .
Рассмотрим композицию:
М →М’→М
Ассоциативность
Множество всех преобразований плоскости (пространства) образуют группу, где групповой операцией является композиция аффинных преобразований (доказательство на основании свойств ).
Свойства прямых и плоскостей и других геометрических фигур при аффинном преобразовании.
При АП множество точек плоскости, удовлетворяющее уравнению
(1) F(x;y) = 0 в АСК I, переходит во множество точек плоскости, которое удовлетворяет этому же уравнению, но в АСК I’.
Следствие
При АП плоскости прямая → прямую, эллипс → эллипс, гипербола → гиперболу, парабола→параболу. (в силу 14о).
Свойство, аналогичное справедливо для пространства.
14о’. Множество точек пространства, удовлетворяющее уравнению
(2) F(x;y;z)=0 в I, при аффинном преобразовании A
переходит во множество точек пространства, которое удовлетворяет уравнению (2), но в системе I’.
При АП плоскости и пространства: параллельные прямые→в параллельные прямые, а параллельные плоскости→в параллельные плоскости.
Доказательство:
в I в I’
в I в I’
после АП плоскости переходят в такие же плоскости, которые в системе I’ имеют такие же уравнения, что и в системе I
Аналитическое задание АП
М(x;y) в I→М’(x;y) в I’
Пусть М’(x’;y’) в I .
Рассмотрим
Как связаны координаты точек М’(x’;y’) и М(x; y) в старой системе I?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим координаты точки М’ в старой и в новой системах координат: М’(x;y) в I’ , но М’(x’;y’) в I.
Запишем формулы преобразования аффинной системы координат для координат точки М’ (1 семестр)
, где (3)
ē’1 ē’2 O’
O’(a;b) в I
Возвращаясь к логике АП плоскости, видим, что формула (3) дает нам связь координат т. М’(x’;y’) в I и М(x;y) в I.
Аналогично выводятся формулы АП в пространстве.
Oē1ē2ē3 O’ē’1ē’2ē’3
II’
O’(a;b;c) в I
М(х;у;z) в I М’(х;у;z) в I’
М’(х’;у’;z’) в I
(4)
(3) и (4) – формулы АП плоскости и пространства.
Сохранение отношений площадей фигур
при аффинном преобразовании плоскости
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.