=> | K’P’| - кратчайшее расстояние от т.P’ до K’N’
Кратчайшее расстояние от P’ до K’N’ измеряется по перпендикуляру => => две взаимно перпендикулярных направления найдены.
Доказательство теоремы 3:
Пусть дано АП А плоскости
В качестве начальной СК определяющей данное АП А возьмем ПДСК , причем i, j такие векторы, которые при данном АП→ в 2 взаимно вектора. Такие векторы можно найти в силу леммы.
Пусть система
причем , но , , (в общем случае)
Рассмотрим преобразование сжатия () вдоль вектора .
- преобразование, при котором любой вектор изменяет свою длину в раз, соответственно, вектор перпендикулярный этому направлению не изменяет свою длину.
(единичный)
Рассмотрим АП сжатие , которое переводит, сжатие вдоль вектора с коэффициентом .
Рассмотрим композицию АП
(движение по определению) D
– преобразование, в котором ПДСК →ПДСК
- сжатие вдоль вектора с коэффициентом
- сжатие вдоль вектора с коэффициентом
А – произведение АП. Ч.т.д.
Теорема 3’. Произвольное АП пространства можно представить в виде композиции некоторого движения пространства и трех сжатий по взаимно перпендикулярны направлениям.
Доказательство: аналогично.
Движения, их свойства и виды.
См. свойства АП, опр., что писали ранее.
Свойства движения:
При движении плоскости произвольный треугольник переходит в треугольник, равный первоначальному.
Доказательство: признак равенства треугольника по трем сторонам. (ранее мы доказали утверждение, что при движении расстояния между точками сохраняется)
При движении углы между векторами сохраняются.
Доказательство: по свойству . Приложим 2 вектора общему началу, соединим концы, получим треугольник, по свойству 1 этот треугольник перейдет при движении в равный ему треугольник, следовательно, соответствующие углы в этих треугольниках равны.
При движении площади треугольников сохраняются. Очевидно.
При движении любая плоская замкнутая фигура переходит в фигуру, равную первоначальной.
Виды движения:
Аналитическое выражение движения (формулы движения).
Из материала 1 семестра известны формулы связи старых и новых базисных векторов при преобразовании ПДСК.
Запишем формулы преобразований координат точек плоскости при переходе к новой ПДСК: т. М’(x’; y’) в старой ПДСК и М’(x;y) в новой ПДСК:
но x; y – координаты т М в старой ПДСК. Поэтому данные формулы выражают связь координат точки после движения с координатами прообраза этой точки до движения в одной и той же старой ПДСК.
Движение: собственное (верхние знаки в середине формул), несобственное (нижние знаки).
Определение
Движение называется собственным, если обе ПДСК, через которые задается это движение, одинаковой ориентации. В противном случае оно несобственное.
DC - собственное движение (верхние знаки)
Найдем двойную точку собственного движения.
– условие двойной точки
Решим систему методом Крамера
Условие, что это решение есть и единственное по теореме Крамера . Единственная двойная точка собств. движения с координатами x0 и y0.
(*)
DC (V)
тогда преобразование DC имеет единственную двойную точку.
(*)→ в (V) и получим:
(VV)
Рассмотрим геометрический смысл формул (VV).
Рассмотрим вектор , где – двойная точка DC
=> из формул (VV)
Обозначим
(**) - формулы поворота вектора на угол φ
Найдем угол между векторами {α;β} и {α’;β’}
Мы доказали, что формулы
DC (VV)
описывают поворот плоскости вокруг неподвижной точки М0 на угол .
Т.о. можно считать, что начальные формулы преобразования DC (V), это тоже формулы поворота плоскости вокруг т. М0 на угол φ.
Частный случай формулы (V) DC
(V)
1) если a=0, b =0: поворот плоскости вокруг начала координат
DC0:
2)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.