Применение определенного интеграла в задачах физики

Применение определенного интеграла в задачах физики

№1

Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус основания  м, глубина котла  м. Он наполнен жидкостью, плотность которой . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

Решение

Из курса физики известно, что работа , где  – сила, действующая на материальную точку, которую перемещают на расстояние . Однако предположение о том, что для данной задачи , где  – вес жидкости, будет ошибочным. Например, чтобы выкачать каплю жидкости с глубины 1 м, и выкачать каплю той же самой массы с глубины 1 см, необходимо произвести разную работу. Поэтому в данном случае необходимо искать другой путь решения, который бы учитывал изменение работы с каждой выкачанной каплей воды.

Введем систему координат так, как показано на рисунке.

Рассмотрим тонкий слой воды, лежащий на глубине . Полагаем, что данный слой настолько тонок, что толщиной его можно пренебречь. Тогда, для того, чтобы выкачать все точки этого слоя придется затратить одинаковую работу, т.к. весь слой лежит на одной глубине. Обозначим толщину слоя . Так как высота слоя очень мала, полагаем, что его объем равен объему прямого цилиндра с радиусом основания , а высотой . Погрешностями, возникающими при такой замене, пренебрегаем ввиду малой толщины слоя.

Тогда , где  – искомый объем. Далее необходимо перейти к одной переменной:  или . Учтем то, что форма котла – параболоид вращения, т.е. в сечении плоскостью ХОУ получим параболу, уравнение которой . Данная парабола проходит через точку , поэтому , , . Подставляя найденное значение в формулу для , получим . Далее, , где  – масса выделенного слоя. Так как вес слоя , то работа  по извлечению слоя веса  из глубины  составит . Учитывая то, что , получим

№2

Треугольная пластинка, основание которой , высота , вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью . Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее  равна , а плотность материала, из которого она изготовлена равна .

Решение

Кинетическая энергия материальной точки, вращающейся около неподвижной оси, равна , где  – угловая скорость, а  – момент инерции относительно оси вращения, причем  ( – расстояние от точки до оси вращения,  – масса точки).  В данной задаче применить эту формулу ко всей пластинке не представляется возможным, т.к. каждая точка пластинки расположена на разном расстоянии от оси вращения и, соответственно, имеет разную кинетическую энергию.

Рассмотрим сечение данной пластины.

Систему координат расположим так, как показано на рисунке (пластина вращается около оси Ох). Выделим элементарный слой в пластине. Обозначим его толщину . Считаем толщину этого слоя настолько малой, что все его точки находятся на расстоянии  от оси Ох. Так как все точки слоя находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения (ось Ох), то они имеют равную кинетическую энергию.

Найдем момент инерции  выделенного слоя. , где  – масса слоя. С другой стороны, , где  – объем слоя. Учитывая то, что толщина выделенного элемента сколь угодно мала, заменим объем выделенного элемента на объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания  и , высотой . Тогда .  Так как  и  подобны, то длины их соответствующих сторон пропорциональны, т.е. . Далее, т.к. , , , , то . Подставляя полученное значение в формулу для , получим . Учитывая ,  и , логически получаем . Кинетическая энергия элементарного слоя будет равна . Так как  , то

№3

Два электрических заряда:  и  находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Разделяющей их средой служит воздух. Сначала оба заряда закреплены неподвижно, затем заряд q₂ освобождается. Тогда под действием силы отталкивания заряд q₂ начнет перемещаться, удаляясь от заряда q₁. Какую работу совершит сила отталкивания, когда заряд:

а) удалится на расстояние 30 см; б) удалится в бесконечность?

Решение

По закону Кулона сила взаимодействия двух электрических зарядов равна  , где q₁ и q₂ – величины зарядов в кулонах, r – расстояние между зарядами в метрах, электрическая постоянная  () и ε – диэлектрическая проницаемость среды относительно вакуума (для воздуха ). Однако в нашей задаче расстояние r не является постоянным, оно меняется с передвижением заряда q₂ по оси Ох.

Рассмотрим элементарный отрезок , полагая его настолько малым, что сила взаимодействия зарядов на нем практически не меняется, т.е. остается постоянной.

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия зарядов будет равна . Чтобы переместить один заряд на расстояние  этой силе придется совершить работу  Когда расстояние между зарядами будет 30 см, заряд  пройдет расстояние .Тогда   и  

Если заряд удаляется в бесконечность, то

№4

Пластина, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость (вертикально) так, что одна из осей (длиной 2b) лежит на поверхности. Как велика сила давления жидкости на каждую из сторон пластинки, если длина погруженной полуоси эллипса равна а, а плотность жидкости ?

РРРРешение

Как известно, давление жидкости на горизонатльную площадку определяется по закону Паскаля: , где  – плотность жидкости,  – глубина погружения,  – площадь площадки. К пластине, данной в задаче, эта формула неприменима, т.к. все точки пластины лежат на разной глубине, и, соответственно, испытавают разное давление.

Выделим на пластине элементарную площадку. Высота этой площадки  настолько мала, что все точки, лежащие на площадке, испытывают практически одинаковое давление, т.е. на выделенном элементе давление не меняется.

.

Так как  бесконечно мало, то площадь выделенной площадки  примерно будет равна площади прямоугольника со сторонами  и , т.е. . Тогда .

В данной системе координат эллипс, по форме которого сделана пластинка, имеет уравнение , где . Отсюда следует . Учитывая   и , получим , где . Тогда давление  на всю пластину составит: