Дискретизация полосовых сигналов. Преобразование частоты дискретизации

Давайте теперь зададимся порядком фильтра N=90 и поменяем желаемую амплитудная характеристика f=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0]:

Рисунок 3.7 АЧХ, ФЧХ и ИР фильтра при N=100 с другой импульсной характеристикой

Вывод: фильтр не удовлетворяет заданным требованиям.

Примечание:

Порядок фильтра старались брать как можно меньше для снижения вычислительной сложности при его реализации.

4. Преобразование частоты дискретизации

Цель работы.

Выполнить операцию преобразования частоты дискретизации для входного сигнала. Входной сигнал состоит из суммы 2х гармонических составляющих с частотами F₁ и F₂. Получить реализацию сигнала на длительности 1 сек.

Определить параметры цифрового ФНЧ фильтра–интерполятора и фильтра–дециматора (определить порядок фильтра и границы полос). Выбрать фильтр, отвечающий требованиям, как интерполяции, так и децимации. Метод расчёта – весовых окон или частотной выборки.

         Децима́ция (от лат. decimatio, от decem — «десять») — уменьшение частоты дискретизации дискретного во времени сигнала путем удаления его отсчетов.

При децимации из исходной последовательности отсчетов

a0, a1, a2, …

берется каждый N-й отсчет (N — целое число):

a0, aN, a2N, … ; N > 1

остальные отсчеты отбрасываются. Преобразование спектра при децимации существенно зависит от спектра исходного сигнала:

Если исходный сигнал не содержит частот, превышающих частоту Найквиста децимированного сигнала, то форма спектра полученного (децимированного) сигнала совпадает с низкочастотной частью спектра исходного сигнала. Частота дискретизации, соответствующая новой последовательности отсчетов, в N раз ниже, чем частота дискретизации исходного сигнала, и спектр полученного сигнала масштабирован по оси абсцисс относительно спектра исходного сигнала.

         Если исходный сигнал содержит частоты, превышающие частоту Найквиста децимированного сигнала, то при децимации будет иметь место алиасинг (наложение спектров).

         Таким образом, для сохранения спектра необходимо до децимации удалить из исходного сигнала частоты, превышающие частоту Найквиста децимированного сигнала. Эта операция производится цифровыми фильтрами.

         Интерполяция это процесс обратный децимации (увеличение частоты дискретизации)

Предварительная  подготовка.

Дано:

№ по списку в журнале 1.

F₁ = 400 Hz, F₂ = 800 Hz, L = 3, M = 5, F_d = 2000 Hz, где

         F₁, F₂  – несущие частоты сигнла,

L – коэффициент интероляции,

M – коэффициент децимации,

F_d – частота дискритизации.

Рисунок 4.1 – Структурная схема проектируемого фильтра.

Входной сигнал:

x(t)=sin(2*pi*F1*t)+cos(2*pi*F2*t)+0.05*randn(size(t));

а)                                                                                                                                         б)

Рисунок 4.2 – Представление сигнала на:

а) временной оси

б) частотной оси

Расчет фильтров.

Первое звено (фильтр – интерполятор).

Построим, исходя из известных данных, спектр и амплитудно-частотную характеристику:

Рисунок 4.3 – Требуемая АЧХ фильтра-интерполятора.

Зная ориентировочный вид АЧХ, зададимся параметрами:

Откуда имеем следующее:

Зная нормированное значение переходной полосы, с помощью окна Хэмминга находим ориентировочный порядок фильтра:

Теперь, зная сколько требуется отчётов импульсной характеристики а также требуемую величину среза, спроектируем фильтр-интерполятор:

Рисунок 4.4 – АЧХ, ФЧХ и ИР фильтра-интерполятора соответственно.

На выходе фильтра будем иметь следующий сигнал:

Рисунок 4.5– Сигнал на выходе первого звена.

Второе звено (фильтр –дециматор).

Построим, исходя из известных данных, необходимый спектр:

Рисунок 4.6 – Спектр при частоте .

Как видно из рисунка 6 зеркальные составляющие спектра накладываются на линии основного спектра, что в свою очередь недопустимо. Для устранения этого эффекта, создадим такой фильтр, который отфильтрует одну из составляющих полезного сигнала, но при этом устранит эффект Гиббса.

Промежуточное звено.

Спроектируем фильтр, со следующей АЧХ:

Рисунок 4.7 – Требуемый спектр на частоте .

Зная ориентировочный вид АЧХ, зададимся параметрами:

Откуда имеем следующее:

Зная нормированное значение переходной полосы, с помощью окна Хэмминга находим ориентировочный порядок фильтра:

Теперь, зная сколько требуется отчётов импульсной характеристики а также требуемую величину среза, спроектируем фильтр-интерполятор:

Рисунок 4.8 – АЧХ, ФЧХ, ИР вспомогательного фильтра соответственно.

На выходе этого фильтра будем иметь следующий сигнал:

Рисунок 4.9– Сигнал на выходе промежуточного звена.

Продолжаем расчёт фильтра-дециматора (оконечное звено), но теперь ориентируясь на составляющую F₁. Для этого снова зададимся фильтром, который будет описывать следующую АЧХ:

Рисунок 4.10– Требуемый спектр для фильтра-дециматора.

Зная ориентировочный вид АЧХ, зададимся параметрами:

Откуда имеем следующее:

Зная нормированное значение переходной полосы, с помощью окна Хэмминга находим ориентировочный порядок фильтра:

Теперь, зная сколько требуется отчётов импульсной характеристики а также требуемую величину среза, спроектируем фильтр-дециматор:

Рисунок 4.11 – АЧХ, ФЧХ и ИР оконечного звена (фильтра-дециматора) соответственно.

На выходе этого фильтра будем иметь следующий сигнал:

Рисунок 4.12– Сигнал на выходе всей системы.

В программной среде MatLAB воспользуемся «напрямую» встроенной функцией, которая позволит одновременно как повысить, так и понизить частоту дискретизации:

y = upfirdn(x,h,l,m); , где

         x  – функция входного сигнала,

h – вектор отчётов импульсной реакции фильтра,

l– коэффициент интероляции,

m – коэффициент децимации,

Рисунок 4.13– Сигнал после применения функции MatLab.

Вывод.

Сравнивая спектры, полученные на рисунках 12 и 13, можно сделать вывод о некорректной работе функции upfirdn(x,h,l,m). Как мы можем видеть одна из зеркальных составляющих спектра рисунка 13 не была подавлена. Мы же смогли устранить эффект Гиббса с помощью промежуточного фильтра