Тесты для самопроверки темы: «Дифференциальные уравнения» (Задания 1-11 с указанием правильных ответов), страница 2

7.3) ;          7.4) ;

7.5) ;     7.6) .

Ответы:

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

6.5

6.3

6.1

6.6

6.4

6.2

Задание 8.  Для каждого из линейных однородных дифференциальных уравнений 8.1 - 8.7 с постоянными коэффициентами составьте характеристическое уравнение, найдите его корни и напишите (в зависимости  от характера корней) общее решение уравнения

Подсказка 1

Если линейное однородное уравнение имеет вид  , где , то  - его характеристическое уравнение, корни которого .

Подсказка 2

Если корни   и  характеристического уравнения  то общее решение исходного уравнения имеет вид

1)действительные различные

2) действительные равные

3) комплексно-сопряженные 

8.1) ;                 8.2) ;

8.3) ;      8.4) ;            8.5) ;

8.6) ;                       8.7) .

Для проверки правильности выполнения задания каждой функции 8.А - 8.Ж из списка приведенных ответов поставьте в соответствие номер той из задач 8.1 - 8.7, общим решением которой она является.

8.А. ;                         8.Б. ;

8.В. ;        8.Г. ;

8.Д. ;                     8.Е. ;

8.Ж. .

Ответы:

8.А

8.Б

8.В

8.Г

8.Д

8.Е

8.Ж

8.6

8.4

8.3

8.7

8.1

8.5

8.2

Задание 9. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка со специальной правой частью. Повторите метод подбора частного решения ỹ  для таких уравнений. Напишите частные решения уравнений 9.1 - 9.4, не находя числовых значений их коэффициентов.

Подсказка

Дано уравнение   , где ,  -  правая часть специального вида.

1. Если  - многочлен вида  , то частное решение ỹ  имеет следующий вид:

        2. Если , то

3. , где   и   - многочлены степеней  n  и  m  соответственно.  Обозначим l - наибольшее из чисел n  и  m, а   и   - многочлены степени l вида   и   соответственно.

9.1) ;                              9.2) .

9.3) ;       9.4) .

Из списка приведенных ответов 9.А - 9.Р  выберите верные, присвоив им номера тех из уравнений 9.1 - 9.4, решениями которых они являются.

9.А. ;                             9.Б. ;

9.В. ;            9.Г. ;

9.Д. ;                                    9.Е. ;

9.Ж. ;           9.И. ;

9.К. ;      9.Л. ;

9.М. ;               9.Н. ;

9.О. ;

9.Р. .

Ответы:

9.1

9.2

9.3

9.4

9.В

9.Е

9.Л

9.Р

Задание 10.  Даны  2 матрицы

;                                       .

а)  Найдите собственные значения   и    матриц  и   и укажите их среди данных пар чисел 10.1 - 10.5:

10.1 {1; 1};             10.2.  {1; 10};                 10.3. {1;  3};

10.4.  {-3; 3};          10.5.  {-3;  -3}.

Ответы:

10.2

10.4

б) Найдите собственные векторы матриц  и   и укажите их среди следующих пар векторов 10.6 - 10.9.

10.6.  ,         ;

10.7.  ,         ;

10.8.  ,          ;

10.9.  ,            .

Ответы:

10.6

10.9

Задание 11. Решите системы линейных однородных дифференциальных уравнений 11.1, 11.2 с постоянными коэффициентами, используя алгоритм, приведенный в схеме-подсказке.

Подсказка

Пусть дана система

1. Напишем матрицу системы   .

2. Найдем ее собственные значения   .

3. Определим собственные векторы , соответствующие собственным значениям .

4. Составим общее решение системы в векторном виде:

.

11.1.                                      11.2.

Среди приведенных ответов 11.А - 11.Г выберите верные.

11.А. .

11.Б. .

11.В. .

11.Г. .

Ответы:

11.1

11.2

11.Б

11.Г