Тесты для самопроверки темы: «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля» (Задания 1-18 с указанием правильных ответов)

Кратные,  криволинейные и поверхностные интегралы.

Элементы теории поля.

Тесты для самопроверки.

Задание 1.  Дайте определение криворлинейного интеграла второго рода (КРИ-II). Запишите формулы для вычисления КРИ-II. К вычислению какого определенного интеграла сводится вычисление криволинейного интеграла

,          где АВ – дуга параболы   от         т. А (1, 2)  до  т. В (2, 8)?

Варианты ответов:

А)           В)

С)        D) .

Правильный ответ:   С.

Задание 2.  Перечислите основные свойства КРИ-II. Чему равен криволинейный интеграл

,        где L – ломаная линия АВС,  А (3, 4),  В (1, 2),  С (2, 1)?

Варианты ответов:

А) ;                    В)  -3 ;                  С) ;                D)  -6 .

Правильный ответ:  В.

Задание 3.  Запишите формулу, по которой вычисляется  КРИ-II в  случае параметрического задания  кривой. Вычислите криволинейный интеграл ,  где        L – нижняя половина окружности , проходимая по часовой стрелке.

Варианты ответов:

А) ;                    В)  6 ;                    С) ;               D) .

Правильный ответ:  А.

Задание 4. Вычислите повторный интеграл .

Варианты ответов:

А)  2;            В)  2х;                   С) ;          D)  3у.

Правильный ответ:  А.

Задание 5.  Дайте определение двойного интеграла, перечислите его основные свойства. К какому повторному интегралу сводится двойной интеграл  ,       где  D – область, ограниченная линиями  , ?

Варианты ответов:

А) ;                  В) ;

С) ;    D) .

Правильный ответ:  С.

Задание 6.  Запишите формулу замены переменных в двойном интеграле. Что такое якобиан? Укажите, чему равен якобиан перехода от декартовых координат (х, у)

1)  к полярным координатам ;

2)  к обобщенным полярным координатам  ,  где ,  ;

3)  к координатам  (u, v ), где  ;

4)  к координатам  (u, v ), где .

Варианты ответов:

А)  -1;      В)  ;    С)  r ;      D) ;          Е) 1 ;     F)  6r .

Правильные ответы:

1) С ;   2) F;  3)  B;     4) A.

Задание 7.  Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривыми ,  ,  ,     .

Варианты ответов:

А) ;                  В) ;                   С)  2 ;          D) .

Правильный ответ:   D.

Задание 8.  Вычислите интегралы:

1) ;           2) .

Варианты ответов:

А)  3;        В)  ;        С)  16 ;         D) 12;      Е) ;       F) .

Правильные ответы:

1)  D;   2)  В.

Задание 9.  Дайте определение  тройного интеграла, перечислите его основные свойства. Как вычисляется тройной интеграл? Расставьте пределы интегрирования в интеграле

,          где область V ограничена плоскостями ,     функция  непрерывна в области V.

Варианты ответов:

А) ;         В) ;

С) ;     D) .

Правильный ответ: А .

Задание 10.  Вычислите с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями .

Варианты ответов:

А)  12;          В)  16;         С)  6;           D)  24.

Правильный ответ:  В.

Задание 11.  Что называется направляющими косинусами вектора?

1) Найдите единичный вектор нормали   к поверхности  в произвольной точке М (х, у);

2)  Выпишите направляющий косинус  этого вектора .

Варианты ответов:

А) ;                       В) ;   

С) ;

D)  -1;           Е) ;       F) ;         G) .

Правильные ответы:

1)   С;   2)  Е.

Задание 12.  Найдите вектор нормали к плоскости , который образует

1)  острый угол с осью OZ;

2)  тупой угол с осью OZ;

3)  острый угол с осью ОУ;

4)  тупой угол с осью ОХ.

Варианты ответов:

А)  (3, -2, -1);          В)  (-3, 2, 1);         С)  (1, 2, -3);         D)  (-1, 2, 3).

Правильные ответы:

1)  В;             2)  А;          3)  В;           4) В.

Задание 13.   Найдите скалярное произведение  векторного поля   на вектор .

Варианты ответов:

А) ;

В) ;

С) ;

D) .

Правильный ответ:  В.

Задание 14.  Запишите формулу для вычисления потока векторного поля через ориентированную поверхность (с помощью поверхностного интеграла). К какому двойному интегралу сводится вычисление потока векторного поля   через плоскость треугольника , вырезанного из плоскости   координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью ОZ острый угол?

Варианты ответов:

А) ,         где  D –  треугольник в плоскости ХОУ  с вершинами  (0, 0),   (4, 0),  (0, -4);

В)  ,      где  D –  квадрат в плоскости ХОУ  с вершинами  (0, 0),   (4, 0),  (4, -4), (0, -4);

С) ,        где  D –  треугольник в плоскости ХОZ  с вершинами  (0, 0),   (4, 0),  (0, -2);

D) ,             где  D –  треугольник в плоскости ХОУ  с вершинами  (0, 0),   (4, 0),  (0, -4).

Правильный ответ: D.

Задание 15. Что называется дивергенцией векторного поля? По какой формуле она вычисляется в декартовой системе координат? Найдите дивергенцию  векторного поля  в точке М (1, 1, 1).

Варианты ответов:

А)  -4;           В)  4;           С)  (2, 0, 2);          D)  (1, -2, 1).

Правильный ответ:  В.

Задание 16.  Какое векторное поле называется соленоидальным?

Проверьте, является ли поле     соленоидальным.

Варианты ответов:

А)  Да;           В)  Нет;       С)  не является векторным полем;

D)  Для   понятие соленоидальности не определено.

Правильный ответ:  А.

Задание  17.  Найдите ротор   векторного поля .

Варианты ответов:

А) ;                    В) ;

С) ;           D) .

Правильный ответ:  С.

Задание 18.  Какое векторное поле называется потенциальным?

Определите, для какого векторного поля   функция 

  является его потенциалом.

Варианты ответов:

А) ;

В) ;

С) ;

D) .

Правильный ответ:  В.