Расчет фильтра нижних частот Баттерворта, полосового фильтра Чебышева и активного фильтра

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Рассмотрим общие принципы реализации передаточной функции второго порядка

                                     (1)


с помощью ОУ, охваченного обратной связью (ОС). Пассивная часть схемы представляет собой многополюсник, состоящий из резистивных и емкостных элементов (рис.1)

Рис.1 Электронная схема на основе ОУ с ОС

Составим уравнение пассивного трехполюсника в Y-форме.

                                                                 (2)

При условии идеального ОУ его входная цепь (зажимы 3-3’) не потребляет тока, т.е. I3 = 0. Учитывая, что U2 = - K0U3, из третьего уравнения системы (2) получим

 .                                                  (3)

При K ® ¥ передаточная функция цепи определяется только параметрами RC-цепи:

  .                                                                       (4)

Предположим, что RC-многополюсник имеет структуру, показанную на рис.2б и состоящую из пяти пассивных компонентов (R-  и C-элементов)

Воспользуемся свойствами идеального ОУ: разность потенциалов между его входными зажимами равна нулю, т.е. U3 = 0 (см.рис.2). Это означает, что потенциал зажима 3 равен нулю. Составим уравнение узлов 4 и 3:


                     а)                                                               б)

Рис.2. Пассивный трехполюсник (а) и его 5-элементная конфигурация (б)

Разрешая второе уравнение этой системы относительно выходного напряжения U2, т.е. , и подставляя результат в первое уравнение, после не сложных преобразований получим выражение для коэффициента передачи по напряжению:

                                     (5)

где

Задавая в качестве проводимостей Yi проводимость емкости pCi или проводимость сопротивления 1/Ri, можно составить требуемый вид передаточной функции KU(p).

1.1  НЧ-фильтр второго порядка. Его передаточная функция имеет вид:

                                                              (6)

Чтобы правая часть уравнения (5) соответствовала дроби (6), следует выбрать в качестве ёмкостей элементы Y2 и Y5, остальные представить сопротивлениями. Тогда передаточная функция может быть выражена через параметры элементов (RC)-схемы (рис.3):

     (7)

Таким образом, из сопоставления функций (6) и (7) выводится система из трех уравнений для определения параметров элементов пассивного трехполюсника:

                                                     (8)

Поскольку неизвестных параметров пять, то два из них могут задаваться произвольно. Обычно выбирается какая-то ёмкость, например, C2 = C0 из нормального ряда параметров и постоянная времени t0 = R1C2, т.е. R1 = t0 / C0. Параметры остальных элементов находятся подстановкой C2 и R1 в систему (8) с последующим её решением:


                  (9)    

Глава 2. Расчетная часть

                 1. Расчет фильтра нижних частот Баттерворта

Исходные  данные:

·  f1= 1 кГц

·  ∆A=0.5 Дб

·  fs=2,5 кГц

·  As=30 Дб

·  Rн =500 Ом

1.1Расчет с помощью  таблиц

Определим нормированную частоту:

s=fs/f1 (1.1)

s=2,5/1=2,5 (1.2)

n=As-10lg(100.1*∆A-1)/20lg Ωs (1.3)

n=30-10lg(100.05-1)/20lg2,5=30-10*0.049/20*0.39=4.91 (1.4)

округлим это число, увеличивая его  до ближайшего целого и получим n=5

схема фильтра будет следующей:

Выпишем из таблицы 9 параметры элементов схемы:

c1=c5=0.618

l2=l4=1.618

c3=2

Денормируем эти элементы по следующим схемам:

L= Kl* l  (1.5)    

C= Kl* c (1.6)

Где:

Kl=RН/2*π*f1 (1.7)

Kc=1/Rн*2*π*f1 (1.8)

Kl=500/6.28*1000=0.07957

 Kc=1/6.28*1000*500=318,3*10-9

С15=0.618*318,3*10-9=196,7 нФ

L2=L4=1.618*0.07957= 128,74 мГн

С3=2*318,3*10-9=636,6 нФ

Частота f0 вычисляется по формуле:

f0 =

 f0 =  =  =1234 Гц

Передаточную функцию по напряжению записываем на основании таблицы 7:

H(p)=1/a5(p)=1/p5 + 3.2361p4 +5.2361p3 +5.2361p2 +3.2361p + 1

Проведем расчет ослабления фильтра:

A= 10lg(1+(100.1*∆A-1)Ω2n)

Расчет проведем для частот f1 ,f0 , 2f1 , fs :

Af1= 10lg(1+(100.1*0.5-1)10)=0.5 дБ

A2f1= 10lg(1+(1.122-1)10) =21 дБ

Af0= 10lg(1+(100.1*0.5-1)10)=3 дБ

Afs= 10lg(1+(100.1*0.5-1)10)=30,6 дБ

                                      1.2 Аналитический метод

Вычисляем Sk  для нечетных n по следующей формуле:

Sk=cos (k*π/5) + j*sin(k*π/5)

Где к=1,2,…2n

Выберем те Sk которые имеют отрицательные вещественные части. Это будет при к=3,4,5,6,7.

n=5           k=3

S3=S7=cos (3*π/5) + jsin (3*π/5) = -3,09017*10-1 + j9,5105655*10-1

n=5           k=4

S4=S6=cos (4*π/5) + jsin (4*π/5) = -8,09017*10-1 + j5,8778529*10-1

n=5           k=5

S5= cos (5*π/5) + jsin (5*π/5) = -1

Вычислим знаменатель передаточной функции:

V(S)=(S-S3)(S-S7)(S-S3)(S-S6)(S-S5) =(S+3,09017*10-1 -j9,5105655*10-1)*(S+3,09017*10-1 - j9,5105655*10-1)*(S+8,09017*10-1 - j5,8778529*10-1)*(S+8,09017*10-1 -j5,8778529*10-1)*(S+1) = S5 + 3.23607S4 + 5.223607S3 + 5.223607S2 + 3.23607S + 1

Из этого выражения видно, что значения совпадают с таблицей 7.

Функция фильтрации h(s) = s5.

Вычислим нормированное входное сопротивление, беря верхние знаки:

Z ВХ=V(S)-h(S)/ V(S) +h(S) = 2S5 + 3.23607S4 + 5.223607S3 + 5.223607S2 + 3.23607S + 1/ 3.23607S4 + 5.223607S3 + 5.223607S2 + 3.23607S + 1

Разложим полученное в цепную дробь:

а) делим числитель на знаменатель:

б) делим делитель на первый остаток:

в) делим второй делитель на второй остаток:

г) делим третий делитель на 3-й остаток:

д) делим четвертый делитель на четвертый остаток:

Таким образом, мы получили полное соответствие расчетных значений табличным значениям.

2 Расчет полосового фильтра Чебышева

Исходные данные

·  f-1=10 кГц

·  f1=14.4 кГц

·  ∆f=4.4 кГц

·  fs2=16 кГц

·  As2=28 дБ

·  ∆A= 0.5 дБ

Найдем среднюю геометрическую полосу пропускания фильтра:

f0=

f1 и f-1 – граничные частоты полосы пропускания фильтра

f0===12 кГц

Найдем нормированную частоту фильтра:

s=k*(fs/f0 – f0/fs) , где k=f0/∆f

k=12/4.4=2.72

s=2.72(16/12 – 12/16)=1.59

определим порядок фильтра:

n≥

n≥====3.84

Итак, порядок фильтра должен быть равен 5. Согласно рис. 7б схема фильтра-прототипа низких частот будет следующей:

По таблице 10 для ∆A= 0.5 Дб и n=5 нормированные элементы ФПНЧ имеют значения:

l1=1.706

c2=1.230

l3=2.541

c4=1.230

l5=1.706

От схемы на рис….. согласно формулам и рисункам 30в, переходим к реальной схеме ПФ путем замены каждого индуктивного элемента последовательным соединением индуктивности li индуктивностью lin=kli  и емкостью cin=1/kli , а каждой емкости сj – заменой параллельным соединением емкости cjn=kcj и индуктивности ljn=1/kcj :

L1n=L5n=1.706*2.727=4.65

С1n=C5n=1/1.706*2.727=0.215

L2n=L4n=1/1.230*2.727=0.298  

C2n=C4n=1.230*2.727=3.35

L3n=2.541*2.727=6.93

C3n=1/2.541*2.727=0.144

Перейдем к номинальным значениям элементов схемы:

L= Kl* l 

C= Kl* c

Где:

Kl=RН/2*π*f0

Kc=1/Rн*2*π*f0

L1n=L5n=4,65* 0,00663=30,8 мГн

С1n=C5n=0.215* 0,02653*10-6=5,7 нФ

L2n=L4n=0.298*0,00663=1,97 мГн

C2n=C4n=3,35*0,02653*10-6=88,8 нФ

L3n=6,93*0,00663=45,95 мГн

C3n=0.144*0,02653*10-6=3,8 нФ

Вычислим затухание фильтра на частотах f0 ,f-1 , f1 , fs , 2fs

A=10lg[1+(100.1*∆A-1)*Tn2(Ω)]

где

Tn(Ω)=ch(n*Arch Ω)

при f0=12 кГц

Ω=12/4.4*(12/12-12/12)=0

при f-1=10 кГц

Ω=12/4.4*(10/12-12/10)=-1

 при f1=14,4 кГц

Ω=12/4.4*(14,4/12-12/14,4)=1

при fs=16 кГц

Ω=12/4.4*(16/12-12/16)=1,59

при 2fs=32 кГц

Ω=12/4.4*(32/12-12/32)=6.25

при 1.5fs=24 кГц

Ω=12/4.4*(24/12-12/24)=4.09

 =10lg[1+(100.1*0.5-1)* (5*Arch 0)]=0 дБ

 =10lg[1+(100.1*0.5-1)* (5*Arch 1)]=0.5 дБ

 =10lg[1+(100.1*0.5-1)* (5*Arch 1.59)]=30 дБ

 =10lg[1+(100.1*0.5-1)* (5*Arch 4.09)]=35 дБ

 =10lg[1+(100.1*0.5-1)* (5*Arch 6.25)]=38 дБ

3. Расчет активного фильтра Чебышева

Исходные данные:

f1=20 кГц

∆A=1 дБ

fs=30 кГц

As=20 дБ

K=10

Прежде всего определим порядок фильтра вычислив его по формуле:

n≥

n≥==5,0729

Принимаем порядок фильтра равным 6, следовательно, мой фильтр состоит из трех звеньев второго порядка. Коэффициент усиления распределим следующим образом: для первого

Похожие материалы

Информация о работе