“ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ”
Комсомольск-на-Амуре 2003
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 Типы квантования непрерывных сигналов.
Наряду с непрерывными системами автоматического управления (САУ) широкое применение находят системы, в которых имеет место дискретный способ передачи и преобразования дискретных сигналов. Процесс преобразования непрерывных сигналов в дискретные называется квантованием. Дискретность сигналов может быть обусловлена их квантованием по времени, по уровню или одновременно по уровню и по времени. По этому признаку дискретные системы подразделяются на три вида.
1. В импульсных системах в результате квантования по времени непрерывного сигнала формируется последовательность его дискретных значений (дискрет), соответствующих фиксированным моментам времени. Обычно эти моменты отстоят друг от друга на постоянную величину , называемую интервалом квантования по времени (рис. 1). При этом сформированную последовательность дискрет принято называть решетчатой функцией целочисленного аргумента. Очевидно, что различным непрерывным сигналам может соответствовать одна и та же решетчатая функция (рис. 2). В тоже время при заданном интервале квантования каждой функции соответствует единственная решетчатая функция. В общем случае квантование сигнала по времени сопровождается потерей информации, так как решетчатая функция не передает характер изменения непрерывного сигнала между моментами квантования.
Рис.1. Квантование непрерывного сигнала Рис.2. К определению решетчатой в импульсной системе функции
2. В отличие от квантования по времени, квантование по уровню может происходить в произвольные моменты времени, которым соответствует достижение непрерывного сигнала заранее фиксированного уровня (рис. 3). Системы с таким типом квантования называются релейными.
3. Система, в которой имеет место квантование по уровню, и по времени, относятся к цифровым САУ (рис. 4).
Если величина интервала квантования много меньше диапазона изменения сигнала , дискретностью по уровню можно пренебречь и тем самым свести цифровую систему к импульсной. Допустимость такой замены позволяет существенно упростить математическое описание дискретных систем. В дальнейшем под дискретными САУ в данном курсе подразумеваются только импульсные системы.
Рис.3. Квантование непрерывного сигнала Рис.4. Квантование непрерывного сигнала в релейной системе по времени
( - интервал квантования по уровню)
1.2. Решетчатые функции разностные уравнения.
Очевидно, что для получения математического выражения, описывающего решетчатую функцию , необходимо в выражении для выполнить формальную замену непрерывного аргумента t на . Например, непрерывной функции
будет соответствовать решетчатая функция
.
Для решетчатой функции определены ее разности. Первая обратная разность равна
, а первая прямая разность определяется выражением вида
.
Введем в рассмотрение прямую и обратную разности k-го порядка, которые определяются через разности (k-1)-го порядка по формулам:
;
соответственно. При управлении системой в реальном масштабе времени величина дискреты не может быть определена в текущий момент времени , поэтому технически реализуется только обратная разность. Разности решетчатых функций являются аналогами производных для непрерывных функций времени.
Операцией, обратной операции взятия разности, является суммирование решетчатой функции, в результате которого получаем новую решетчатую функцию:
.
Уравнение вида
, в левой части которого записана комбинация решетчатых функций и ее разностей, называется разностным уравнением. Поскольку разность любого порядка может быть выражена в виде линейной комбинации значений решетчатой функции в различные моменты времени, для записи разностного уравнения используется следующая форма:
(1)
Любое разностное уравнение может быть разрешено относительно значения решетчатой функции от наибольшего аргумента
(2)
Очевидно, что (2) определяет рекуррентную процедуру численного решения разностного уравнения при известных начальных условиях .
Если комбинация решетчатых функций в (1) является линейной, то динамика дискретной системы описывается линейным разностным уравнением k-го порядка:
, (3)
в котором - постоянные числа, если система стационарна, а - известная решетчатая функция, описывающая входное воздействие. Общее решение уравнения (3) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения , полученного из (3) при , и частного уравнения , определяемого функцией :
. (4)
Первое слагаемое в (4), описывающее свободную составляющую движения
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.