Общие понятия об управлении. Принципы построения систем автоматического управления. Линеаризация дифференциальных уравнений. Свободное поведение САУ

Матрица, обратная Φ равна самой матрице, но с аргументом обратного знака, т.е.

                                             Φ⁻¹ ( )t = Φ(−t).

Для линейных систем переходная матрица представляет собой матричную экспоненту

Φ( )t = e ^At = I + At + A t2    2             A tn          n                  (4) +Κ +        _.

                                                                                                                    2!               n!

Т.к. (4) удовлетворяет (3), действительно Φ^&( )t = Ae ^At = AΦ .

Переходная матрица позволяет определить реакцию многосвязной системы на произвольные начальные условия.

Решение первого уравнения из системы (1) при произвольных начальных условиях тогда будет иметь вид:

t

                                                                                                 (5)

или выходная координата из второго уравнения (1)

t

                                                     y t( ) = x( )0 Ce At +                                                            .                            (6)

Модальные характеристики

Мода (англ.) – собственные значения и собственные вектора.

Модальные характеристики позволяют описывать собственные динамические свойства систем и находить свободную составляющую движения. Действительно, если объект описывается системой дифференциальных уравнений вида

                                                                            x&= Ax + Bu,                                                     (1)

при начальных условиях t₀ = 0, x₀ = x( )0 , то решение, как известно, имеет вид:

                                                                     x t( ) = x_св ( )t + x_в ( )t                                                (2)

где           x_св ( )t – свободная составляющая,       x_в ( )t –вынужденная составляющая.

Причем свободная составляющая получается из решения дифференциального уравнения.

                                                                                  x&= Ax .                                                         (3)

Решение (3) можно представить в виде:

                                                                           x t( ) = x( )0 e^λt .                                                   (4)

Подставляя (4) в (3)

                                        x( )0 λe^λt = Ax( )0 e^λt           ⇒     (λI − A x) ( )0 = 0                        (5)

Найдем λ и x(0) – соответствующие решению уравнения (5). Уравнение (5) будет иметь решение, если

                                                                          det(λI − A) = 0 .                                                   (6)

Соотношение (6) представляет собой характеристическое уравнение, если раскрыть (6), то получаем:

                                                       a_nλ λⁿ + a_n−1 ⁿ⁻¹ + Κ + a₁λ+ a₀ = 0,                                    (7)

где n – порядок дифференциального уравнения исходной системы (1).

Решения (7)  λ₁, λ₂,  ..., λ_n  – корни характеристического уравнения (собственные значения матрицы A). Подставляя корни λ_i  в уравнение (5), получим:

                                                                      (λ_i I − A x) _i ( )0 = 0.                                                (8)

Можно определить значения всех компонент вектора x(0) – вектора начальных условий. Для λ_i 

существует собственный вектор динамической системы   –   e_i (i = 1,n).

Произведение e^λit e_i – мода системы.

Свободное движение динамической системы полностью определяется набором мод, т.е. существует определенная связь:

n

                                                                 x t( ) ⁼∑ f_i (x_i ( ))0 e^λit e_i ,                                            (9)

i=1

где  f_i  – определяется заданными начальными условиями  (i = 1,n) .

Часто для анализа свойств системы используют только собственные значения матрицы A (корни).

Как известно они могут быть:  λ_i =±a_i ± jb_i , i = 1,n.

1.  вещественные    ± a₁ ; ± a₂ ; ± a₃ ; Κ

2.  комплексные      ± a₁ ± jb₁; ± a₂ ± jb₂ ; ± a₃ ± jb₃; Κ

_x1.1.                                                                              Если      все     корни вещественны                                                                                         и отрицательны

λ_i =−a_i , i =1,n, тогда имеем результирующую сходящуюся экспоненту (рис.16).

1.2. Если среди отрицательных вещественных корней имеется хотя бы один положительный, то процесс будет соответствовать расходящейся экспоненте.

2.1.  Если корни комплексные и все с отрицательной вещественной частью λ_i =−a_i ± jb_i , i =1,n , то процесс колебательный затухающий (сходящийся).

2.2.  Если все корни комплексные и хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть, то имеем расходящийся

                                                                                                   колебательный процесс.

В ТАУ принято называть как вещественные, так и комплексные корни левыми, которые имеют отрицательную вещественную часть. Корни с положительной вещественной частью называются правыми. Их название ясно из рис.17.

Итак, для того, чтобы процесс был сходящимся (система линеаризованная была устойчива) необходимо и достаточно, чтобы все Рис.17         корни характеристического уравнения были левыми.

Передаточные функции

Кроме дифференциальных уравнений в ТАУ используются различные их преобразования, т.к. решение дифференциальных уравнений высокого порядка вызывает значительные трудности. Решения дифференциальных уравнений исследуются косвенными методами. Наиболее удобна алгебраизация дифференциальных уравнений.

Формальным обоснованием алгебраизации служит интегральное