Симметричные и несимметричные колебания в НСАУ. Критерий абсолютной устойчивости. Общая теория симметричных автоколебаний, страница 2

Если нелинейность однозначна, тогда g'(A)=0. Характеристика НЭ всегда такова,  что в уравнении  график зависимости   представляет собой отрицательный участок на оси абсцисс.

          

Такой нелинейностью может быть, например, транзисторный усилитель мощности (нелинейность с ограничением).             

Если порядок линейной части системы не ниже третьего, а  принимает вид характеристики , тогда в системе могут возникнуть автоколебания. Частота этих колебаний, как следует из рисунка, соответствует значению , при которой  (частотная характеристика линейной части системы) пересекает  ось абсцисс в ее отрицательных значениях, и не зависит от вида нелинейного элемента!

Оценка симметричных автоколебаний

при наличии динамической нелинейности

Сложней анализировать симметричные автоколебания в динамической системе.

Как и ранее, колебания в системе определяются знаменателем операторного выражения  , то есть уравнением   .

После подстановки  последовательно получают:

,

Полученная система уравнений решается относительно  и , которых может быть достаточно много. Каждое из найденных решений необходимо проверить на устойчивость режима автоколебаний по удовлетворению неравенству:

.

РЕЗЮМЕ:

Симметричные автоколебания имеют ограниченную область применения. Их обычно создают в реальных системах позиционирования для борьбы с сухим трением в механических узлах электромеханических систем. (Следящие системы, состоящие в состоянии покоя. Вот около покоя и создается сухое трение, которое делает систему неминемальнофазной).

Несимметричные автоколебания в НСАУ

Несимметричные автоколебания в системах автоматического управления характеризуются тем, что гармонический сигнал на входе нелинейного элемента смещен относительно нуля, а на выходе его есть постоянная составляющая.

Здесь D – электродвигатель, ДОС – датчик обратной связи.  Нелинейным элементом является усилитель мощности.

Пусть на входе  нелинейного элемента (реле с зоной нечувствительности) имеется сигнал , где - это постоянный сигнал, а  (на постоянный сигнал наложена гармоника).

В этом случае выходной сигнал НЭ  (см. ) зависит от постоянной составляющей и частоты входного сигнала.

Разложение в ряд Фурье будет иметь вид: . Как и ранее, при гармонической линеаризации воспользуемся только первой гармоникой. Аналогичная ситуация может возникнуть и в случае несимметричной нелинейности.

Коэффициенты гармонической линеаризации

при несимметричных автоколебаниях

Итак, на входе НЭ действует сигнал:  .  Иногда, если НЭ несимметричный, постоянная составляющая х⁰ может быть равна нулю. В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации определяются по формулам:   ,   

,    .

Характеристика НЭ может быть представлена следующим выражением:

.

Структура НСАУ при несимметричных автоколебаниях

Рассмотрим НСАУ первого класса с динамическим воздействием на входе:

Здесь - задание и ,    ,   ,  ,  .    Объединив все эти выражения, получим:    

.

Так как на входе НЭ действует сигнал  процессы в системе (в силу ее линейного представления) разбиваются на два уровня:

- установившееся движение,

- гармонические колебания.

Выделим уравнение для установившегося процесса:

, где - эквивалентный входной сигнал (положим его постоянным),  и уравнение гармонических колебаний:

.

Из уравнения установившегося процесса определяется величина смещения  и подставляется в уравнение колебательного движения (в коэффициенты гармонической линеаризации). В результате получают операторное уравнение  , разрешаемое относительно  и .

В случае с однозначной нечетно-симметрической нелинейностью характеристическое уравнение упрощается и принимает вид:

, а после подстановки  последовательно получают:

,

,  откуда

  и   .

Полученные соотношения позволяют заключить, что при однозначной нелинейности частота   несимметричных колебаний остается такой же, как и при симметричных, независимо от величины смещения  и параметров нелинейности.  Амплитуда же несимметричных колебаний зависит от смещения и выражается через амплитуду симметричных, так как  . То есть обе величины  однозначно определяются  параметрами линейной части.

Рассмотрим НСАУ с нелинейностью релейного типа:

Здесь , .

Гармоническая линеаризация нелинейности при симметричных колебаниях дает:

, где  , а при несимметричных: , где   ,     .

Уравнение замкнутой системы относительно переменной  х  имеет вид:

.

При симметричных колебаниях, когда  g(t)=0  (или  pg(t)=0), имеем характеристическое уравнение .  Подставив  , получим:

  и   ,  откуда ,   .

В случае несимметричных колебаний при входном воздействии , в соответствии с полученным выше, имеем уравнение для постоянных составляющих:  , откуда  . Подстановка  в   дает:  .   

Теперь для определения амплитуды А несимметричных автоколебаний используем равенство  (равенство коэффициентов гармонической линеаризации при наличии и отсутствии симметрии в выходном сигнале):  ,   откуда получаем  .   Тогда постоянная составляющая (смещение) будет найдена в виде:

. Частота колебаний, как уже было отмечено, не изменится.