Умножение двух прямоугольных матриц. Количество процессов. Решение систем уравнений методом прогонки. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Когда оба процесса доходят до половины матрицы происходит обмен данными между процессами и они начинают двигаться в противоположных направлениях. С этого момента у каждого процесса   начинается обратный ход.

R – номер процесса.( 0 или 1)

5.2.3. Решение системы линейных алгебраических  уравнений методом Гаусса

Раздел 5.2.4. Разностная схема продольно-поперечной прогонки

Двухшаговая разностная схема продольно-поперечной прогонки порядка  для нелинейного уравнения (1)  записывается в виде

(3)

где: .

Такая разностная схема правильно аппроксимирует поток тепла, который является непрерывной функцией даже в том случае, когда коэффициенты уравнения (1) являются разрывными функциями.

По каждому из неявных направлений разностная схема по-прежнему является линейной и может быть записана в виде :

              (4)

где

и соответственно

Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений используется метод прогонки. 

Значения прогоночных коэффициентов находятся по рекуррентным формулам, которые в общем виде можно записать так:

, k= 1, …, N-1.  Из граничных условий на левой (нижней) границах определяются значения прогоночных коэффициентов на левой границе и  на верхней соответственно. После этого, учитывая, что на левой и на правой границах, обратной прогонкой находятся все значения сеточной функции на - ом   n+1 –ом    временном слоях.

Блок схема алгоритма.

5.2.5
5.2.6. Написать блок-схему алгоритма распараллеливания для решения двумерного уравнения Пуассона  . в области D{ 0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1; t > 0 } с помощью поточечного метода Зейделя (задача Дирихле).

Поточечный  метод Зейдея иногда называют итерационным методом и записывают разностную схему домноженную на h_x²* h_y².

            На равномерной прямоугольной сетке уравнений (1) аппроксимируется следующей разностной схемой

n – номер итерации.

Значения сеточной функции на границах области известно из граничных условий. Схему можно записать в виде, удобном для реализации ее с помощью бегущего счета:

,   где  .

Значения  находятся по формуле

, причем счет начинается со значений индексов . В этом случае значение и  известно из граничных условий. В качестве начальных значений для внутренних точек области можно взять, например, результаты линейной интерполяции между границами и этими точками.

Реализация алгоритма проста: разделяем ось OX на N частей, где N – количество параллельных ветвей. Какая-либо ветвь вычисляет значения функции для “своих” значений X, после этого передает верхний вычисленный слой ветви, с вышестоящим рангом, для того, чтобы на следующим шаге ветвь с вышестоящим рангом могла вычислить все свои значения функции. Также вышестоящая ветвь передает на каждом шаге нижний слой области нижестоящему рангу.

5.2.7. Написать блок-схему алгоритма распараллеливания для решения двумерного уравнения Пуассона  . в области D{ 0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1; t > 0 } с помощью блочного метода