Распределение напряжений под действием равномерно распределенной нагрузки. Коэффициент распределения в горной породе напряжений

Практическая работа № 7

Распределение напряжений под действием равномерно распределенной нагрузки

Для определения вертикальных напряжений возникающих по оси z, проходящей через центр загруженной прямоугольной площадки  используется формула  σ_z =α⋅P

где Р – давление на основание

            α - коэффициент распределения в горной породе напряжений, зависящий от соотноl  ^2z шения n = и m ⁼  .  b     b

Значение этого коэффициента приведены в

 таблице 1. Рисунок 1

Для определения вертикальных напряжений возникающих по оси z, проходящей через углы загруженного прямоугольника   используется формула σ_z =α′⋅P

где Р – давление на основание

α^′ - коэффициент распределения напряжений по глубине основания.

Значение коэффициента α^′  можно получить из таблицы 2, принимая α^′ =α/4,  

l  z b      b

значение α будет зависеть от двух параметров  n = и m=  .

Это решение положено в основу метода угловых точек.Суть этого метода состоит в том, что если загруженную площадку разбить на прямоугольники, то напряжения в точке, которая является  общей  для  всех  прямоугольников, равны сумме напряжений, возникающих в этой точке от действия каждого из загруженных прямоугольников. Площадку, разбивают на прямоугольники таким образом, чтобы точка, в которой рассчитываются напряжения, была угловой и общей для этих прямоугольников. 

Возможны два основных случая расположения точки относительно загруженной площадки: внутри ее контура и за ее пределами.

В первом случае (рис. 2а) напряжение в точке М определяется как сумма угловых напряжений от действия нагрузки по четырем прямоугольникам AEMH, HMGD, EMFB и MFCG, а именно: σ_Я = (α₁′ +α₂′ +α₃′ +α₄′)⋅ Р где α^′₁, α^′₂, α^′₃, α^′₄ – коэффициенты, определяемые в зависимости от соотношения сторон четырех прямоугольников.

В первом случае (рис. 2б) напряжение в точке М будет определяется следующим образом σ_Я = (α₁′ −α₂′ −α₃′ +α₄′ )⋅ Р где α^′₁ – коэффициент, определяемый в зависимости от соотношения сторон

прямоугольника EBFM; α^′₂,  – для прямоугольника AEGM; α^′₃,  – для прямоугольника HCFM;         α^′₂,  – для прямоугольника HDGM;

Если при определении коэффициента αпо таблице соотношения m и n между строк и столбцов таблицы, то αопределяется путем интерполяции. Суть метода интерполяции состоит в следующем:

1.  Если расчетная точка по своим координатам (m и n) попадает между строк и столбцов таблицы (рис. 3), то значение коэффициента αопределяется по формуле

α=α₁₁ −x₁ +y ,

(m − m1) (⋅ α11 −α21)

                                        ^x1 = , 

m2 − m1

(m  − m1) (⋅ α12 −α22)

                                        ^x₂ = , 

m2 − m1

(n  − n1) (⋅ α12 − x2 −α11+x1)       Рисунок 3 Схема поясняющая          _y =     _.

                                                              n2 − n1                                                                               способ интерполяции

2.  Если расчетная точка по своим координатам 

(m  и n) находится в столбце таблицы, то расчетные формулы упрощаются: α=α₁₁ − х₁.

3. Если расчетная точка по своим координатам  (m и n) находится в строке таблицы, то расчетные формулы примут вид:

α=α₁₁ − у₁,

(n  − n1) (⋅ α12 −α11) где y =     .

n2 − n1

Задание

В соответствии с исходными данными  (таблица 1) необходимо определить вертикальные напряжения в горном массиве на глубине 2 м от поверхности. На основание передается равномерно распределенная нагрузка Р=300000 н/м². Значение σ_Z в расчетных точках представит в МПа.

Контрольные вопросы

4.  Сущность метода угловых точек

5.  Как зависят сжимающие напряжения от площади загрузки.

6.  Как найти сжимающие напряжения в точке находящейся на контуре прямоугольника давления.

7.  Как найти сжимающие напряжения в точке находящейся вне прямоугольника давления.

8.  Как найти сжимающие напряжения в точке находящейся в нутрии прямоугольника давления.

Таблица 1 Исходные данные для расчетов

Таблица 2  Значения коэффициента α