Матричные игры. Теория игр. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Решение типового примера. Средняя цена на продукцию равна

Матричные игры

Теория игр рассматривает социально-экономические ситуации, связанные с принятием решений, в которых по крайней мере два разумных противника имеют конфликтующие цели. К типичным примерам теории игр относятся, например, борьба нескольких фирм за государственный заказ, рекламирование конкурирующих товаров, обменные и торговые операции и др.

В игровом конфликте участвуют два противника, именуемые игроками, каждый из которых имеет некоторое множество возможных выборов, называемых стратегиями. С каждой парой стратегий связан платеж, который один из игроков выплачивает другому. 

Матричная игра есть конечная игра двух игроков с нулевой суммой, то есть выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В такой игре достаточно задать результаты в виде платежей для одного из игроков. 

Пусть первый игрок имеет m стратегий  i = 1,2,…,m, второй – n стратегий j = 1,2,…,n. Каждой паре стратегий (i, j ) поставлено в соответствие число a_{i j} , выражающее выигрыш первого игрока за счѐт проигрыша второго игрока, если первый игрок выбирает свою i-ю стратегию, а второй игрок – свою j-ю стратегию.

Если рассмотреть матрицу

то строки матрицы соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы – стратегиям второго игрока, число a_{i j} – выигрыш первого игрока (либо проигрыш второго игрока). 

Главным в теории игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В него интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока оптимальна, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при любых стратегиях другого игрока. Один из критериев оптимальности стратегии (максиминный критерий) – обеспечение наилучшего результата из наихудших возможных для отдельного игрока. 

Любую конечную матричную игру можно решить графически либо методами линейного программирования. Графический метод применим только для игр, в которых хотя бы у одного из игроков имеется две стратегии. Этот метод интересен тем, что графически поясняет основные понятия теории матричных игр: понятие седловой точки, чистой и смешанной стратегий, цены игры, нижней (верхней) цены игры. 

Поиск решения конечной матричной игры является достаточно трудоемким процессом, если платежная матрица имеет большую размерность, однако принципиальных трудностей по ее решению не существует, так как любая матричная игра двух лиц с нулевой суммой представляется в виде задачи линейного программирования. 

Решение матричных игр в чистых стратегиях

Решение типового примера

Два предприятия производят продукцию и поставляют еѐ на рынок региона. Они – единственные поставщики продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок этой продукции в регионе. 

Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трѐх различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведѐнной по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 12, 8 и 4 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции. (табл. 1).

Таблица 1. Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.).

В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:

Y = 10 – 0.6*X, где Y – количество продукции, которое приобретѐт население региона (тыс. ед.); X – средняя цена продукции предприятий (д.е.).

Значения долей продукции предприятия А, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия А и предприятия В. В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены (табл. 2).

Таблица 2. Доля продукции предприятия А, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

В задаче необходимо определить:

1.  Существует ли ситуация равновесия при выборе технологий производства