Табличный метод формирования уравнений цепей. Уравнения Кирхгофа для тока и напряжения. Простая цепь и ее направленный граф

                          ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6.

ТАБЛИЧНЫЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЦЕПЕЙ

1.Цель работы:получить навык при составлении уравнений табличным методом.

2.Основные теоретические сведения

Табличный метод - наиболее общий метод составления уравнений цепи. В нем все уравнения, описывающие цепь, включены в общую систему уравнений,содержащую:

1) уравнения Кирхгофа для тока

2) уравнения Кирхгофа для напряжения

3) компонентные уравнения

Рассмотрим схему, содержащую b ветвей, n+1 узел и элементы R, G, L и C, а также источники тока и напряжения. Топология схемы описывается матрицей инциденций. Обобщенный закон Кирхгофа для токов и напряжений запишется в виде:

А · Iв = 0                                                                                                                                                                                                                                                                                                           (6.1)

U_в^Т - А · Un = 0                                                                                                                                                                                                                                           (6.2)

В самом общем случае уравнения, описывающие элементы цепи, можно представить в следующей форме:

     где Y1 и Z1 - проводимость и импеданс соответственно;

К1 и К2 - безразмерные константы;

W_в1 и W_в2 - токи и напряжения независимых источников, учитывающие влияние начальных условий на конденсаторах и катушках индуктивности.

Для компактности будем использовать следующую форму записи:

Y_в · U_в + Z_в · Iв = W_в                                                                                                                                                                                                                                           (6.3)

В табл. 6.1 представлены значения Y_в, Z_в и W_в для различных типов двухполюсных элементов.

Таблица 6.1.

Элемент	Компонентное уравнение	YВ	ZВ	WВ
1.Резистор	UВ - RВ * IВ =  0	1	- RВ	0
2.Проводник	GВ UB-IB = 0	GВ	-1	0
3.Конденсатор	pCB UВ - IВ = CB U0	pCB	-1	CB U0
4.Катушка индуктивности	UВ - pLВ  IВ = -LВ I0	1	-pLB	-LВ I0
5.Источник тока	IB = JB	0	1	JB
6.Источник напряжения	UB = EB	1	0	EB

В таблице U₀ и I₀ - начальные условия - напряжение на конденсаторе и ток через катушку.

Уравнения (6.1), (6.2) и (6.3) можно записать в следующей последовательности:

U_в^Т - А · U_n = 0

Y_в  ·  U_в + Z_в  ·  I_в = W_в

А  ·  I_в = 0

и представить в матричной форме:

(6.4)

или в общем виде:                  Т  ·  X = W

В табличном методе нет никаких оснований различать источники и пассивные элементы - они вносятся в матрицу одинаково. Нумерация элементов может быть произвольной.

Запишем табличные уравнения для цепи, показанной на рис.6.1.

 

               

					G4

 

Рис.6.1 Простая цепь и ее направленный граф

В этом примере намеренно введены элементы R и G для того, чтобы наглядно показать разницу в описании каждого элемента.

Матрица инциденций для этой цепи имеет вид:

                       

В результате табличные уравнения принимают вид:

 

                        

Если в начальный момент времени на конденсаторе есть напря-жение U0 плюс которого приложен к узлу 1, а минус - к узлу 2, то седьмой элемент вектора в правой части равенства будет равен С3·U0.

Рассмотрим как вносится в граф 4х-полюсник.В графе каждая паразажимов 4х-полюсника представ-ляется двумя направленными отрезками (рис. 6.2). Соответственно, записываются два компонентных уравнения, приведенные в таб.2 в матричной форме для некоторых идеальных 4х-полюсников.

    

Рис.6.2.Четырехполюсник и его направленный граф.

Таблица 6.2. Компонентные уравнения идеальных 4х-полюсников.

4х-полюсник	Условное обозначение	Компонентные уравнения
1.ИТУН
2.ИНУН
3.ИНУТ
4.ИТУТ
5.ОУ 6.Трансформатор		« - » - для согластного

Запишем матрицу инциденций и компонентные уравнения в матричной  форме для цепи, изображенной на рис.6.2.

            

Рис. 6.2. Активная цепь с ИНУН

Составим направленный граф для данной схемы (рис. 6.3).

                   

Рис.6.3. Направленный граф активной цепи.

Ветвь 6 соответствует входным, а 7 - выходным зажимам УНИН. Матрица инциденций будет иметь вид:

1     2       3       4       5      6      7

                 

1

А= 2

3

4

Запишем компонентные уравнения для каждой ветви графа в виде