Понятие математического ожидания. Моменты центрированной случайной величины. Математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины

Характеристики, назначение которых—выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.4В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения.

Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.           

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую возможные значения х^, х^ .... х„ с вероятностями /?р р^, .... рц. Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений х^ причем каждое значение Х[ при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее значение случайной величины X, которое мы обозначим А1(Л']:

п

или, учитывая, что ^р^^!.

(=1

(5.6.1)

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрение одно из важнейших понятий теории вероятностей—понятие математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Заметим, что в вышеприведенной формулировке определение математического ожидания справедливо, строго говоря, только для дискретных случайных величин; ниже будет дано обобщение этого понятия на случай непрерывных величин.

Формула (5.6.1) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной веллчины Х математическое ожидание, естественно, выражается уже не суммой, а интегралом:

со

М[Х\== Г х/(х)ах,              (5.6.2)

—00

где / (х) — плотность распределения величины X.

Формула (5.6.2) получается из формулы (5.6.1), если в ней заменить отдельные значения х, непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности р^—элементом вероятности/^)^, конечную сумму—интегралом..

Кроме характеристик положения—средних, типичных значений случайной величины,—употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом 8-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида:

",№==2-^.                     (5.7.1)

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом 5-го порядка называется интеграл

со

а,[Л-]== Г х^(х)ах.                 (5.7.2)

—00

Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем п° основная характеристика положения —математическое ожидание — представляет собой не что иное, как перши начальный момент случайной величины X.

'общее определение начального момента 5-го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

а,[Х]==М[Х⁵}.                  (5.7.3)

т. е. начальным моментом 8-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание 8-й степени этой случайной величины ¹}.

введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием т^. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

Х==Х—т^   .                (5.7.4)

Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком ° наверху.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов.

Таким образом, центральным моментом порядка 8 случайной величины Х называется математическое ожидание 5-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

^[^]=А1[^]==Л1[(^—от,Л.         (5.7.6)

Для прерывной случайной величины 5-й центральный момент выражается