Электрические колебания. Основные определения и формулы. Свободные затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания

Резонансные кривые  графики зависимостей от частоты ω внешней ЭДС амплитуд следующих величин: тока I , заряда q на конденсаторе и напряжений U_R , U_C и U_L .

1

Резонансные частоты для U_R , U_C и U_L : ω ωRрез = 0,

2

ω ωCрез = 0 1−2ωβ02  ,

                          ω0                 .

ωLрез =                 2

1−2ωβ0 

Переменный ток:

                                                                                                                Um                        ,           ωL− 1

U =Um cosωt ,  I = Im cos(ωt −ϕ), где Im =       2 +ωL−ω1C 2      tgϕ=    RωC . R

2

Z = R^{2 +}_ωL −_ω¹_C ^_  полное сопротивление или импеданс.

X =ωL−ω¹C  реактивное сопротивление.

X _L =ωL  индуктивное сопротивление.

X_C =_ω¹_C  емкостное сопротивление.

I = I_m 2 , U =U_m 2       действующие или эффективные значения тока и напряжения.

P =UI cosϕ  средняя мощность, где cosϕ  коэффициент мощности.

ЗАДАЧИ

Собственные незатухающие колебания:

1. В контуре, состоящем из конденсатора емкости C и катушки с индуктивностью L, происходят свободные незатухающие колебания с амплитудой  напряжения на конденсаторе U_m . Найти ЭДС самоиндукции в катушке в моменты, когда ее магнитная энергия оказывается равной электрической энергии конденсатора.

Решение:

Согласно закону Ома RI = +U ε_с , где U       напряжение на конденсаторе

(U =ϕ ϕ₁ − ₂). В нашем случае R = 0 , поэтому ε_с =−U .

Остается найти напряжение U в моменты, когда электрическая энергия конденсатора равна магнитной энергии катушки. При этом условии можно записать: , откуда U = ^Um . 2

В результате имеем ε_{с =} ^Um .

2

Ответ: ε_{с =} ^Um .

2

2. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L и незаряженного конденсатора емкости С. Активное сопротивление контура R = 0 . Катушка находится в постоянном магнитном поле так, что полный магнитный поток, пронизывающий ее витки, равен Φ. В момент t = 0 магнитное поле резко выключили. Найти ток в контуре как функцию времени t.

Решение:

При резком выключении внешнего магнитного поля в момент t = 0 появится индукционный ток, но конденсатор будет еще не заряженным.

Поэтому согласно закону Ома RI =− ^d_dt^Φ− L ^dI_dt .

В данном случае R = 0 и, значит, Φ+ LI = 0. Отсюда Φ= LI₀ , где I₀ начальный ток (непосредственно после выключения поля).

После выключения внешнего поля процесс будет описываться уравнением

0 =− −C^q L ^dIdt (1).

Продифференцировав это уравнение по времени, получим ^{d I}_dt²₂ + _LC¹ = 0. Это уравнение гармонических колебаний, его решение ищем в виде

I = I_m cos(ω α₀t + ).

Постоянные I_m и α находим из начальных условий I ( )0 = I₀ , ^dI_dt ( )0 = 0

(второе условие следует из уравнения (1), т.к. в начальный момент t = 0 конденсатор был не заряжен). Из этих условий найдем α= 0, I_m = I₀. В результате I = I₀ cosω₀t ^=_^Φ_L ^_cosω₀t, где ω₀ = _LC¹ .

Ответ: I = I0 cosω0t =ΦL cosω0t.



Добротность контура:

3.  Колебательный контур с малым затуханием имеет емкость C и индуктивность L. На поддержание в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе U_m необходимо подводить среднюю мощность P . Найти добротность контура.

Решение:

Вследствие малости затухания добротность равна Q, где W  энергия, запасенная в контуре, δW  уменьшение этой энергии за период колебания T . W = ^CU₂ ^m2 и δW = P T . В нашем случае T ≈T₀ = 2π LC .

Окончательно получим Q = ₂^U_P^m2 _C^L .

Ответ: Q = 2UPm2 CL .

Затухающие колебания:

4.  В колебательном контуре имеется конденсатор емкости C , катушка индуктивностью L, активное сопротивление R и ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, а затем замкнули. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа).

Решение:

Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же как заряд, поэтому запишем U =U e_m ^−βt cos(ω αt + ).

В начальный момент t = 0 напряжение U ( )0 =U_m cosα, где U_m  амплитуда в этот момент. Нам надо найти ^{U ( )0} , т.е. cosα. U_m

Для этого воспользуемся другим начальным условием: в момент t = 0 ток

I = =q! 0. Т.к. q = CU , то достаточно продифференцировать первое уравнение по времени и полученное выражение при t = 0 приравнять к нулю. Получим −βcosα ω α− sin = 0, откуда tgα=−.

Поэтому искомое отношение ^U_U^{( )}m⁰ = cosα= ₁₊¹_tg2_α ⁼ 1+¹_{ } 2 .

 

Принимая          во          внимание,          что          ω ω² = ₀² −β², запишем

UU( )m0 = 1−^ωβ0 2 = 1− R C42L , где учтено, что β= 2RL и ω02 = LC1 .

Ответ: U ( )0 = 1− R C2  .

                     U_m                          4L

5. В колебательном контуре с емкостью C и индуктивностью L совершаются затухающие колебания, при которых ток меняется со временем по закону I t( )= I e_m ^−βt sinωt . Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени.

Решение:

Выберем положительное направление обхода контура контур по часовой стрелке. Согласно закону Ома для участка контура 1RL2 имеем

RI =ϕ ϕ₁ − ₂ +ε_c . В нашем случае ε_c =−LI и ϕ ϕ₂ − ₁ = _C^q =U_c , где q  заряд на обкладке 2, поэтому  первую формулу можно переписать так: U_c =−RI − LI!. После подстановки сюда выражения для I t( ) и его производной получим