Математический анализ функции одной переменной. Понятие функции. Основные характеристики функций и их классификация

Математический анализ функции одной переменной.

1 Понятие функции.

Числовую величину х назовём переменной величиной, если она может принимать различные значения.

Х-множество всех значений х, XÎR.

Пусть существует множество YÎR. Если каждому х из Х по некоторому правилу сопоставлено единственное y из Y, то говорят, что на Х задана функция y=f(x) или

Функция определена, если заданы: множество Х(ОблОпредФункц), множество Y(МножЗначФункц), правило сопоставления элементов Y элементам Х.

Способы задания функций. Табличный, аналитический, графический, Описательный

Основные характеристики функций.

Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется чётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=f(x). Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется нечётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=-f(x).

Пусть функция y=f(x) определена на D и пусть D1cD(подмножество), тогда: 1)если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)<f(x2), то функция называется возрастающей на множестве D1. 2)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)£f(x2), то функция называется неубывающей на множестве D1. 3)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей на множестве D1. 4)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)³f(x2), то функция называется невозрастающей на множестве D1. для случаев 1,2,3,4 функцию называют монотонной, для 1,3-строго монотонной.

Классификация функций

Простейшими элементарными функциями называют: постоянные функции f(x)=c, c=const.  степенные, показательные, логарифмические, все тригонометрические и им обратные, все функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий над простыми элементарными функциями, а так же суперпозиции этих функций – составляют класс элементарных функций.

Классификация: P(x)=a0+a1x+a2x²+…+amx^m, m³0 – целая рациональная функция, или алгебраическое множество степени m. , m³0,n³0 – дробно рациональная функция. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и их арифметических действий над степенными функциями как с целым, так и с дробным показателем и не являющихся рациональными называют иррациональными. Все функции, не являющиеся рациональными или иррациональными называют трансцендентными(логарифм, показательная).

2 Предел последовательности.

Число А называют пределом последовательности {x_n}, при n®¥, если , т.е. для любого положительного числа e существует такое натуральное число N=N(e), такое что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-A|<e. n-член последовательности.

Для любого e>0, существует такой номер, что все n с бОльшими номерами попадают в e-окрестность числа А.

3 Бесконечнобольшие(б.б.) и бесконечномалые(б.м.) последовательности.

{x_n}- называется бесконечно большой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |x_n|>M. ("M>0$N_M:"n>N=>|Xn|>M)

{x_n}- называется бесконечно малой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |x_n|<M.

Теорема: если последовательность {x_n}-бесконечно большая и все её члены отличны от нуля, то последовательность -бесконечно малая и обратно, если {a_n}-бесконечно малая, и члены отличны от нуля, то -бесконечно большая последовательность.

Доказательство:

Пусть {xn}-бесконечно большая. "M>0$N_M:"n>N=>|Xn|>M. Пусть , "n>N – бесконечно малая и обратно.

Основные свойства бесконечно малых/больших последовательностей.

Теорема: сумма и разность б.м.п. есть б.м.п. Док-во: an – б.м., bn-б.м. "e/2>0$N1:"n>N1=>|an|<e/2, "e/2>0$N2:"n>N2=>|bn|<e/2. N=max{N1,N2}, тогда "n>N будут одновременно выполнятся |an|<e/2 и |bn|<e/2 => "n>N |an+-bn| £ |an|+|bn| < e/2+e/2=e, "n>N |an+-bn| < e - бесконечно малая.

Следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть б.м.п.

Теорема: Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.

Док-во: an – б.м., bn-б.м. Так как an – б.м., то "e>0$N1:"n>N1=>|an|<e, e=1$N2:"n>N2=>|bn|<1. N=max{N1,N2}, тогда "n>N существует |an|<e и |bn|<1 => |an|*|bn|<e*1=e, |an*bn|-бесконечно малая.

Следствие: произведение любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.

Замечание: частное 2-х б.м.п. может не быть б.м.п.

Последовательность {Xn} называется ограниченной, если существует такое c>0, что для всех членов последовательности выполняется: $c>0:"n>N=>|Xn|>c

Теорема: произведение ограниченной последовательности на б.м. есть б.м.п. Док-во: Пусть Xn-ограниченная