Моделирование и исследование линейных систем. Методы измерения характеристик линейных цепей. Линейные системы

Способ замены произвольного входного сигнала суммой стандартных воздействий основан на представлении функции рядом или интегралом Фурье. Предположим, что входной сигнал – периодическая функция с периодом T. Любой реальный периодический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье

x t( ) = +A0 ∑∞ An cos(ωnt)+ Bn sin(ωnt)

                                            2     n−1                                                                                    (9)

                2 T 2                                                                    2 T 2                                                              2πn

A_n = ∫ x t( )cos(ω_nt dt) ,       B_n = ∫ x t( )sin(ω_nt dt) , ω_n = .

               T −T 2                                                                   T −T 2                  T                                         (10)

или в комплексной форме

                                                                         x t D en −iωnt

                                                                n=−∞                                                 (11)

где ^{Dn = D en   iωn} _– комплексная амплитуда, определяемая выражением

                                                             Dne−iωntdt                                       (12)

T

−

Отдельные слагаемые в рядах (9) и (11) называют гармониками. Выходной сигнал может быть определен в общем виде, если нам известна реакция системы на гармоническое входное воздействие e^{−i tω}при всех значениях частоты.

Пусть на вход линейной системы подается гармоническое воздействие x t( )= Ae−i tω= A eiϕAe−i tω. Сигнал на выходе обозначим следующим образом: y t( )= Be−i tω= B eiϕBe−i tω. Отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических сигналов называется коэффициентом передачи линейной системы

                                                . (ω ω)= K ( )e^{iϕ ω}K ^{( )} = =B  B ei(ϕ ϕB− A)

K i

                                                                                                              A     A

                                                                                                                   (13)

Следовательно, модуль коэффициента передачи равен отношению амплитуды сигнала на выходе |B| к амплитуде сигнала на входе |A|, а его фаза равна разности фаз указанных сигналов. Зависимость ^{K( )ω} называется амплитудно-частотной характеристикой линейной системы (АЧХ), а ^ϕω_K ^{( )}– фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Если коэффициент передачи известен, то в силу принципа суперпозиции мы можем записать следующее выражение для выходного сигнала:

                                                    y( )t =∑D_nK(iω_n )e^iωnt                              (14)

n

Если на вход линейной системы подается непериодический сигнал, то его следует представить в виде интеграла Фурье

                                                           ∞                                                                     ∞

                                 x t               X i      e d          X i             x t e     dt

                                                                                                                   (15)

или в виде интеграла Лапласа

                                 x t( ) ⁼      ∫ X p e dp( ) ^pt                        ,  X p( ) ⁼∫x t e( )                      ^ptdt

                                      ²πⁱ                                        ₀                            .    (16)

Зная коэффициент передачи, можно определить спектр выходного сигнала

                                                        .                                                                               .

                                    _{Y i}(ω ω ω)= _{K i}(              )_{X i}( ), или Y p( ) = K p X p( )                    ( ).

                                                                                                                    (17)

и, следовательно, сам сигнал

                                                           ( )                                           ,

                                                                                                                   (18)

или в терминах преобразования Лапласа

1 σ+i∞ .           _pt y t( ) ⁼  ∫ K p X p e dp( ) ( ) .

                                                     ²πⁱσ−ⁱ∞                                                               (19)

Связь частотного и временного методов

Итак, реакция линейной системы на произвольное внешнее воздействие может быть определена с помощью формул (5), (8), (14), (18), (19), если известна переходная или импульсная характеристики линейной системы, либо ее коэффициент передачи. Каждая из трех функций ^{h t( ), g t( ) и K i(ω)}полностью определяют свойства линейной системы. Очевидно, что они взаимосвязаны. Коэффициент передачи и импульсная характеристика связаны между собой преобразованием Фурье:

( )       ,         (20)

.

K i(ω) =∫g t e( ) ^{−i tω}dt,

   ⁰                      (21) а импульсная характеристика представляет собой производную от переходной характеристики

dh t( )    ^t g t( ) = , или h t( ) ⁼∫g( )τ τd .

                                                                       dt                           ⁰                                  (22)

Итак, для решения задачи о прохождении сигнала произвольной формы через линейную систему с сосредоточенными параметрами можно предложить два метода:

1.  Теоретически или экспериментально определить переходную h t( )или импульсную g t( ) характеристику линейной системы и с помощью выражений (5) или (8) рассчитать выходной сигнал; либо решить дифференциальное уравнение (1) непосредственно. В этом случае задача решается в терминах переменной t, поэтому такой метод называется временным.

2.  Теоретически или экспериментально определить комплексный коэффициент передачи _K^&(iω); рассчитать амплитуды спектральных составляющих входного сигнала D_n для периодического сигнала или спектральную функцию _{X i}(ω) для непериодического сигнала, воспользовавшись выражениями  (14) или (18), (19), определить выходной сигнал. В этом случае входной сигнал задается своим спектром, а свойства линейной системы передаются функцией частоты – коэффициентом передачи. Поэтому такой метод расчета выходного сигнала называется спектральным (частотным).

В лабораторной работе необходимо рассмотреть свойства простейших RC-цепей, используя как частотный, так и временной метод их анализа.

Методы измерения характеристик линейных цепей

Обсудим вопрос о том, как характеристики линейной цепи могут быть найдены экспериментально. 

1.  Коэффициент передачи. Для того чтобы определить коэффициент передачи _K(iω₎ , нужно подать на вход системы гармонический сигнал _Acos(ω_t) и измерить параметры выходного сигнала, который в силу линейности системы также будет гармоническим _Bcos(ω_t +ψ₎. Отношение амплитуд выходного и входного сигналов будет равно модулю коэффициента передачи на данной частоте, а разность фаз сигналов – фазе коэффициента передачи (13). Проведя такие измерения в выбранном диапазоне частот, мы узнаем АЧХ и ФЧХ системы в этом диапазоне.

2.  Переходная характеристика h(t). По определению переходной характеристики, для ее измерения, нужно подать на вход системы единичное ступенчатое воздействие (функцию Хэвисайда) _1(t) , тогда сигнал на выходе будет представлять собой функцию h(t). На практике вместо такого входного сигнала подают последовательность