Лабораторная работа №11
«Приближённое решение нелинейных уравнений»
В практической работе радиоинженера зачастую возникает необходимость решения нелинейных уравнений, которые либо трудно, либо невозможно решить аналитически. Решение таких уравнений можно возложить на ЭВМ. Поэтому необходимо иметь представление о методах решения уравнений на ЭВМ.
Любое уравнение можно представить в виде
,
(1)
где — некоторая нелинейная
функция. Так
например, для уравнения
имеем
. Значение х0
при котором существует равенство f(x0)=0 называется
корнем уравнения. Графически корни уравнения представляют собой абсциссы
точек пересечения графика функции
с
осью ОХ (рис. 1), то есть корни уравнения — это нули функции
.
Процесс отыскания корней делиться на два этапа:
1. Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.
2. Уточнение корня с заданной точностью.
Для первого этапа нет формальных
методов, отрезки определяются или табуляцией, или исходя из физического смысла,
или аналитическими методами. Иногда выявить отрезки, на которых находятся
корни, можно исследованием функции .
Признаком того, что на отрезке
находится
корень уравнения (1) является неравенство
.
В нашем примере кубического уравнения функция
представляет собой кубическую
параболу, которая имеет один максимум и один минимум. Для того чтобы найти
положения максимума и минимума приравняем нулю производную функции
:
.
Решим полученное уравнение: ;
. Поскольку
,
,
, то на отрезке
находится хотя бы
один корень. Из общего вида функции
ясно,
что найденный отрезок содержит только один корень. Для двух других корней
отрезки придётся подобрать. Воспользуемся тем, что при
и
функция
возрастает.
Следовательно, если взять достаточно маленький
, например,
, то
и отрезок
содержит корень.
Аналогично подберём довольно большой
,
так что
. Тогда отрезок
также содержит
корень.
При других функциях подобное рассуждение,
возможно, провести не удастся. Тогда можно выбрать произвольные достаточно
маленькие
и
, и постепенно смещать
их вправо, пока не будет найден нужный отрезок. Критерием пригодности отрезка
является неравенство
.
Второй этап — уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0
Выходом из итерационного процесса является одно из двух условий:
1. │f(xn)│≤ε,
2. │xn-xn-1│≤ε,
Таким образом после
нахождения отрезков локализации корней необходимо сужать эти отрезки до тех
пор, пока либо их длина не станет меньше наперёд заданной величины, которую
будем называть точностью, например ,
либо значение функции
не
приблизится к нулю с точностью
.
Рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии (деления
отрезка пополам), итерации и касательных.
Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε, если известно, что f(a)*f(b)<0
Процесс уменьшения длины отрезка можно произвести следующим образом:
1)
находим середину отрезка ,
2)
находим значения функции ,
3)
если , то корень находится
в левой воловине отрезка
.
Переносим правую границу отрезка в его середину
; иначе переносим
левую границу отрезка в его середину
.
4)
Если длина , то переходим к
пункту 1).
Как только длина отрезка становиться меньше необходимой точности , можем корнем
уравнения считать любую точку отрезка, например, его середину.
Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε, если известно, что f(a)*f(b)<0
Процесс уменьшения длины отрезка происходит быстрее, если делить его не пополам, а используя хорду. Для этого:
1)
мысленно проводим прямую
между точками и
. Эта прямая
пересекает ось Х в точке
.
Этой точкой отрезок [a,b] разделяется на 2 части,
2)
находим значения функции ,
3)
если , то корень находится
в левой части отрезка
. Переносим
правую границу отрезка в точку d (
); иначе переносим
левую границу отрезка в точку d (
).
4)
Если длина , то переходим к
пункту 1).
Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε.
x=φ(x) (2).
Выберем грубое, приближенное значение корня x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:
x1= φ(x0) (3),
далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:
x2= φ(x1) (4)
x3= φ(x2) (5)
Проделаем данный процесс n раз получим xn=φ(xn-1)
Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел
x* =limxn, то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.
Выражение (5) запишем как
x*= φ(x*) (6)
Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся. Условием сходимости является выражение если во всех токах
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.