Решение параболических уравнений методом конечных разностей. Алгоритм решения параболических уравнений методом конечных разностей

Цель: реализовать алгоритм решения параболических уравнений методом конечных разностей.

Задание:

Решить ДУЧП нестационарной задачи теплопроводности, используя явную двухслойную схему метода конечных разностей. Начальные и граничные условия, а также правая часть дифференциального уравнения приведены в таблице. Величины L и T задать самостоятельно. Построить трехмерный график искомой функции u(x,t) для области 0<x<L и 0<t<T.

№ вар	Граничные условия		Начальные условия u(x,0)	f(x,t)	L	T
	u(0,t)	u(L,t)
19	sin(2t+3)	–		–

Ходработы:

Листинг ParabolicEquationSolver.cs

namespace Lab3.Classes

{

/// <summary>

/// Класс, реализующий решение параболического

/// уравнения методом конечных разностей

/// </summary>

class ParabolicEquationSolver

{

private double coreLength;              // Длина стержня

private double time;                    // Временной интервал

private short xSplitCount;              // Количество разбиений по х

private short tSplitCount;              // Количество разбиений по t

private double heatSpendCoefficient;    // Коэффициент теплопроводности

private double[,] decisions;            // Матрица решений

/// <summary>

/// Конструктор с параметрами

/// </summary>

/// <param name="_coreLength">Длина стержня</param>

/// <param name="_time">Временной интервал</param>

/// <param name="_xSplitCount">Количество разбиений по х</param>

/// <param name="_tSplitCount">Количество разбиений по t</param>

/// <param name="_heatSpendCoefficient">Коэффициент теплопроводности</param>

public ParabolicEquationSolver(

double _coreLength, double _time,

short _xSplitCount, short _tSplitCount,

double _heatSpendCoefficient

)

{

coreLength = _coreLength;

time = _time;

xSplitCount = _xSplitCount;

tSplitCount = _tSplitCount;

heatSpendCoefficient = _heatSpendCoefficient;

ToSolve();

}

/// <summary>

/// Получение матрицы решений

/// </summary>

public double[,] GetDecisions { get { return decisions; } }

/// <summary>

/// Начальная граница

/// </summary>

/// <param name="t">Время</param>

/// <returns>Значение функции за время t</returns>

private double StartBorder(double t)

{

return System.Math.Sin((2 * t + 3) * System.Math.PI / 180);

}

/// <summary>

/// Конечная граница

/// </summary>

/// <param name="x">Длина</param>

/// <param name="t">Время</param>

/// <returns>Значение функции за время t на расстоянии x</returns>

private double EndBorder(double x, double t)

{

return 0;

}

/// <summary>

/// Начальные условия

/// </summary>

/// <param name="x">Длина</param>

/// <returns>Значение функции на растоянии x</returns>

private double EntryConditions(double x)

{

return System.Math.Sqrt(x * x * x + 2 * x + 5);

}

/// <summary>

/// Решение параболического уравнения

/// </summary>

private void ToSolve()

{

double xStep = coreLength / xSplitCount;

double tStep = time / tSplitCount;

decisions = new double[xSplitCount, tSplitCount];

for (int i = 0; i < xSplitCount; i++)

{

decisions[i, 0] = EntryConditions(i * xStep);

}

for (int j = 0; j < tSplitCount; j++)

{

decisions[0, j] = StartBorder(j * tStep);

decisions[xSplitCount - 1, j] = EndBorder(0, j * tStep);

}

double gamma = (heatSpendCoefficient * heatSpendCoefficient * tStep) / (xStep * xStep);

for (int j = 0; j < tSplitCount - 1; j++)

{

for (int i = 1; i < xSplitCount - 1; i++)

{

decisions[i, j + 1] = gamma * decisions[i + 1, j] + (1 - 2 * gamma) * decisions[i, j] + gamma * decisions[i - 1, j];

}

}

}

}

}

Тесты:

Рисунок 1 – Главное окно программы

Выводы: в ходе лабораторной рабы были изучены алгоритм метода конечных разностей, было разработано приложение для решения параболических уравнений методом конечных разностей.