Классификация бытовой радиоэлектронной аппаратуры (БРА). Общие положения теории массового обслуживания, страница 3

Для простейшего потока вероятность того, что в интервале времени t к обслуживанию будет принято k заявок ( на интервал t попадает k заявок)

^{P t}_k( )=( )^λt ^k exp(-λt),                                        (1)

k!

где λ - интенсивность протока заявок.

Если число заявок на обслуживание превышает число каналов k > n, то заявки устанавливаются в очередь на обслуживание (СМО с ожиданием).

III.  Расчет параметров конкретной СМО с использованием математического аппарата теории массового обслуживания.

Постановка задачи - расчет характеристик сервисного центра БРА, работу которого можно описать как функционирование СМО с n каналами (мастерами), на вход которой поступает k заявок с вероятностью , описываемой формулой (1), в которой λ - среднее число заявок.

Известно из статистических данных, что случайная величина - среднее время обслуживания (среднее время ремонта аппарата) Т_СР, имеет экспоненциальный закон распределения 

                                                P T(               ⁾=exp⁽- t ),                                          (2)

cp

T_cp

где ν = 1/ Т_СР - параметр распределения.

Предполагается, что число заявок на обслуживание может превышать число каналов, т.е. имеется в виду СМО с ожиданием.

Требуется:

1.  Определить число каналов обслуживания, исходя из условия ограниченной очереди.

2.  Определить длину очереди М₁.

3.  Оценить эффективность работы сервисного центра по следующим параметрам:

3.1.  Загруженность мастеров (незанятое время работника).

3.2.  Оценка параметров очереди:

-  среднее время ожидания начала ремонта (Т_ОЖ);

-  вероятность начала ремонта, определяющая долю заявок реализуемую не позже времени Т_ОЖ.

Решение.

1.Определение необходимого числа каналов.

Производится из условия выполнения требования об ограниченности очереди. Известно, что при соотношении ( λ/ν ) ≥ n очередь неограниченно возрастает. Следовательно необходимо, чтобы 

n > λ/ν                                                                (3)

2. Определение длины очереди при условии, что все каналы заняты.

=p nⁿλν ,                                                     (4)                                               ^M₁₂ nνλ- )

где p_n - вероятность того, что все каналы заняты, т.е число заявок в точности равно числу каналов

= p⁰λν^{k - k} ,                                                    (5)                                                 ^p_n

k!

где p₀ - вероятность того, что в момент поступления заявки все каналы свободны 

                                                 n

             p₀= 1/[Σ (1/k!)(λ/ν)^k  + λⁿ /(n-1)!(nν - λ)(ν)^n-1]              (6)

                                              k=0

3.1. Среднее число свободных каналов 

                                                                    n-1

                               М₃ = Σ [(n-k)/k!](λ/ν)^k p₀                                 (7)                                            k=0

Величина М₃/n определяет долю свободного времени одного канала.

3.2. Оценка параметров очереди:

3.2.1. Расчет времени ожидания времени ремонта Т_ОЖ.

Закон распределения времени ожидания имеет вид

                           P{β≥ t} = П exp[-(nν - λ)t],                                  (8)где  β - время ожидания начала ремонта; П - вероятность того, что в момент поступления очередной заявки все каналы заняты и