Математика \ Геометрия

Понятие скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. Скалярное произведение векторов, страница 2

Определение:Три вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях одной плоскости.

Теорема:Для того, чтобы три вектора были компланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

Примеры решения задач.

Пример 1:

Даны вершины треугольника А(2;-3;1) В(1;2;0) С(4;-1;0). Найти его внутренний угол А.

Решение:

Для решения задачи сделаем схематический чертёж Рис 3.6

Рис. 3.6

Найдём проекции векторов и : из координат конца вектора, вычитаем соответствующие координаты начала вектора.

далее используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами, заданными своими координатами

Далее по таблице находим угол А.

Пример 2:

Найти проекцию вектора на ось составляющую одинаковые углы с осями координат.

Решение:

Воспользуемся формулой связывающей направляющие косинусы вектора.

Так как ось составляет одинаковые углы с осями координат то, , тогда

Так как направляющие косинусы являются проекциями единичного вектора, направленного вдоль этой оси. Обозначим этот вектор . Тогда проекции этого вектора:

Далее воспользуемся формулой для нахождения проекции одного вектора на другой

Пример 3:

При каком значении k векторы и перпендикулярны.

Решение:

Так как векторы и перпендикулярны, то . Используем формулу для нахождения скалярного произведения векторов, заданных своими проекциями.

Пример 4:

Найти вектор , зная что он перпендикулярен векторам и удовлетворяет условию , где вектор .

Решение:

Обозначим проекции вектора неизвестными x,y,z

, используя условие перпендикулярности векторов, имеем

Таким образом, имеем

значит искомый вектор .

Пример 5:

Даны точки А(3;2;1); В(-1;0;2); С(4;1;0); D(2;1;-1). Найти

Решение:

Найдём проекции векторов и

далее воспользуемся формулой вычисления проекции одного вектора на другой

Пример 6:

Даны вершины треугольника A(2;0;-3); B(1;2;-5); C(3;-1;2). Найти высоту треугольника, опущенную из вершины В.

Решение:

Сделаем схематический чертёж Рис 3.7

К С

Рис 3.7

Найдем проекции векторов и

используя геометрический смысл векторного произведения, найдём площадь

с другой стороны из школьного курса геометрии известно, что тогда имеем равенство:

и тогда: .

Найдем вектор векторного произведения в случае если векторы заданы своими проекциями.

Таким образом вектор имеет проекции: .

Зная проекции вектора легко находим его модуль.

Таким образом, высота:

Пример 7:

Найти (х) при котором векторы ; будут компланарны.

Решение:

Используя необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов, можем записать, что смешанное произведение векторов должно равняться нулю.

или для случая, когда векторы заданы своими проекциями:

Раскроем определитель по 1^ой строке

Пример 8:

Доказать, что четыре точки A(2;-3;1); B(3;-4;3); C(5;-1;2); D(6;-2;4) лежат в одной плоскости.

Решение:

Найдём проекции векторов

если мы докажем, что векторы лежат в одной плоскости, то это будет означать, что точки A,B.C,D лежат в одной плоскости. Векторы компланарны или лежат в одной плоскости в случае, если их смешанное произведение равно нулю. Рассмотрим смешанное произведение векторов заданных своими проекциями.

Таким образом, смешанное произведение трёх векторов равно нулю, а это значит они лежат в одной плоскости, а следовательно и точки A,B.C,D лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Пример 9:

Найти высоту пирамиды опущенной из вершины D, если заданы координаты вершин пирамиды А(1;6;-1); B(2;1;1); C(1;2;-2); D(3;2;3)

Решение:

Сделаем схематический чертёж для решения задачи Рис 3.8