Метрические пространства. Понятия метрики и метрического пространства. Компактные множества

Пусть X – метрическое пространство, M  X – множество в нем. Доказать, что точка a X может быть предельной для множества M только если aM или aM .

3.  На числовой прямой ¡ с обычной метрикой построить открытый и замкнутый шары с центрами в точке a 1 радиуса R  2.

1, при x  y

4.  На числовой прямой ¡ с метрикой (x y, )      найти

_0, при x  y

замкнутый и открытый шары с центрами в точке a 1 радиуса R  2.

1, при x  y

5.  На числовой прямой ¡ с метрикой (x y, )      найти

_0, при x  y

замкнутый и открытый шары с центрами в точке a 1 радиуса R   .

1, при x  y

6.  На числовой прямой ¡ с метрикой (x y, )      найти

_0, при x  y

замкнутый и открытый шары с центрами в точке a 1 радиуса R 1.

7.  На плоскости ¡2 с метрикой (x x1, 2 ),(y y1, 2 )  x1  y1  x2  y2  построить замкнутый и открытый шары с центрами в точке a  (0,0) радиуса R 1.

8.  На плоскости ¡² с метрикой (x x₁, ₂),( ,y y_{1 2})maxx y x y₁  ₁ , ₂ ₂  построить замкнутый и открытый шары с центрами в точке a  (0,0) радиуса R 1.

9.  На плоскости ¡2 с метрикой (x x1 2, ),(y y1, 2) x y1  1 2  x2 y2 2 построить замкнутый и открытый шары с центрами в точке a  (0,0) радиуса R 1.

10.  Построить метрическое пространство (X,) и в нем замкнутые шары B a r₁[ ₁, ]₁ и B a r₂[ ₂, ₂] так, что B₁  B₂ , а r₁  r₂ .

11.  Построить метрическое пространство (X,) и в нем замкнутые



ограниченные множества F₁  F₂  F₃ ... такие, что IF_k  .

k1

Указание:      в        пространстве ¡   рассмотреть       метрику x  y

(x y, )  и множества F_k k,, k 1,2,3,...1 x  y

12.  Привести    пример        метрического       пространства,       в        котором

B  a R( ,       )  B a R[ ,  ].

            Указание:       в           пространстве ¡           рассмотреть          метрику

1, при x  y

(x y, )   и шары B a( ,1) и B a[ ,1], где a – произвольная фик_0, при x  y

сированная точка.

                                                                                                      1

                                                                                              1  , при x  y                                                                            5 

13.  Пусть X 1,, (x y, )          x  y  . Найти B_1,          _,

                                                                                            ^0,             при x  y                                                               ^{                   4 }

        5          6

B2, 4 , B10,5.

14.  В        пространстве        l₁        найти расстояние           между         элементами

1          1 1     1        1        1                 1 1     1         x                  , ₂     ₂ , ₃   ₃ ,... и y   , ₂ , ₃ ,....

          3    2 3      2    3      2                 3 3   3      

15.  В пространстве    l₂ найти расстояние между элементами

 1         1        1                 1 1     1         x          , ₂ , ₃ ,... и y          , ₂ , ₃ ,....

           2 2    2                 3 3   3      

16.  Найти расстояние ( f₁, f₂) в пространстве С0,1, если

3 2 x               1          f x₁( ) ^     ₂ , f₂ ( )x  1     .

                   (x 1)                     x 1

17.  Найти расстояние ( f₁, f₂) в пространстве С0,2, если f x₁( )  asin x, f₂ ( )x  bcosx.

18.  Найти расстояние ( f₁, f₂) в пространстве L₁1,1, если f x₁( )  x , f₂( )x  sin x.

19.  Найти расстояние в пространстве С0,1 между функциями x t( )  t³ , y t( )  t² 1.

 

20.  Найти расстояние в пространстве С _0, _{4 } между функциями x t( )  sint , y t( )  cost .

21.  Найти расстояние в пространстве С,  между функциями x t( )  sint , y t( )  cost .

22.  Изобразить шар B t[ ²,2] в С0,1.

23.  Пусть x t₀( ) – фиксированная функция из C a b , . Доказать, что множество E x t( )C a b , : x t( )  x t₀( ) открыто в C a b , .

Указание: показать, что  inf x t₀( )  sup x t( ) , и выбрать

ta b, ^       ta b,      .

24.  Является ли открытым в пространстве l_ множество E x  (₁, ₂,...)l_ :0 _k 1  k ¥?

25.  Разместить в единичном шаре в пространстве l₂ счетное число непересекающихся шаров радиуса .

26.  Показать на примере, что пересечение последовательности вложенных друг в друга непустых ограниченных открытых множеств, диаметры которых стремятся к нулю, может быть пусто (определение диаметра множества см. в п. 4).

                                                                                                                                                              1 

             Указание: для всех n¥ рассмотреть множества вида _0,   _  ¡.

                                                                                                                                                              n 

27.  Является ли множество x t( ) :t  x t( )  ³t t, (0,1) открытым в пространстве C0,1?

Указание: изобразить рассматриваемое множество графически.

28.  Проверить, является ли ограниченным следующее множество

                                          a                             

x t( )C0,1 : ( ) x t                   t cos   , a0,1 , t0,1?

                                          t                             

Указание: найти шар, целиком содержащий данное множество. Для простоты можно искать шар с центром в начале координат.

29.  Пусть x t₀( ) – фиксированная функция из C a b , , A – фиксированное число. Доказать, что множество E x t( )C a b , : A x t( )  x t₀( ) открыто в C a b , .

30.  Пусть x t₁( ) и x t₂( ) – фиксированные функции из C a b , . Доказать, что множество E x t( )C a b , : x t₁( )  x t( )  x t₂( ) открыто в C a b , .

31.  Является ли открытым множество многочленов в пространстве

C  a b , ?

3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности.

Полные метрические пространства

Определение: пусть X – метрическое пространство. Его элемент x называется пределом последовательности x_n X , если (x x_n, )  0 при

n  . Обозначение: x_n  x при n   или limx_n  x.

n

Замечание: определение предела равносильно тому