Схема испытаний Бернулли. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами

Ряд задач ТВ связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания 

Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.

Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:                 .

Изделия  производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

Решение.  а) По условию задачи n = 5, p = 0,05. Так как вероятность наступления события  А (появление бракованной детали) постоянна для каждого испытания, то задача подходит под схему Бернулли. По формуле 

P.

б) .

Наивероятнейшее число  m₀   наступлений события  А    в n испытаниях заключено в интервале                                   np − q ≤ m₀ ≤ np + p.

Если np − q −целое число, то наивероятнейших числа два np − q    и     np + p.

 В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0,8. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

Решение. Из неравенства np − q ≤ m₀ ≤ np + p  найдем m₀. По условию n = 4, p = 0,8, q =1−0,8 = 0,2:

4⋅0,8−0,2 ≤ m₀ ≤ 4⋅0,8+0,8 ⇔           3 ≤ m₀ ≤ 4.

Имеется два наивероятнейших числа m₀ = 3  или  m₀ = 4.

 Вероятность попадания в кольцо при штрафном броске для баскетболиста равна 0,8. Сколько надо произвести ему бросков, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Решение. Известно, что p = 0,8, m₀ = 20. Тогда q =1− 0,8 = 0,2 и n найдем из системы неравенств

В случае, когда n велико, а р мало ( p < 0,1; npq ≤ 9) вместо формулы