Метод прямой капитализации дохода в двухскоростной модели DDM и CAPM

Глава 20. Метод прямой капитализации дохода в двухскоростной модели DDM и CAPM

Исследуется уравнение для неизвестной ставки капитализации дохода полученное в главе 20 для смешанной неравновесной модели DDM и CAPM. На основе принципа сжимающих отображений получены условия существования и единственности решения. Предложен численный алгоритм метода последовательных приближений. Рассматривается числовой пример.

В главах 19 и 20 нами изучалась смешанная модель DDM и CAPM для оценки рисковой ставки дисконта. В частности, в главе 20 было получено следующее уравнение для определения текущей обменной стоимости актива:

                          (20.1)                                                

Здесь n ––  предполагаемая длительность холдингового периода;

 неизвестная текущая обменная стоимость актива;

  известное начальное значение чистого дохода (для оценки бизнеса –– денежного потока);

    среднее значение скорости изменения чистого дохода;

  подходящая ставка дисконта;

среднее значение скорости изменения обменной стоимости актива.

В рамках двухскоростной модели DDM и CAPM в главе 20 было показано, что подходящая ставка дисконта задается формулой:

                     (20.2)                                  

Здесьсредняя доходность рыночного портфеля;

r–– случайная доходность рыночного портфеля;

дисперсия r;

безрисковая ставка дохода,

ковариация с.в.

ν_t, j_t –– случайные скорости изменения чистого дохода  и сравнительной стоимости актива соответственно за t-й период:

.

Коэффициенты бета скорости изменения дохода и стоимости определяются формулами

.            (20.3)

Предположим, что последовательности           представляют собой последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (как в модели Блэка-Шоулза) и, следовательно, стационарны в узком смысле. Отсюда следует в частности, что коэффициенты бета в (20.3) не зависят от t. В главе 20 уравнение (20.1) использовалось для оценки инвестиционной стоимости актива. Неизвестная стоимость в обмене заменялась на стоимость замещения, известную из затратного подхода. При этом уравнение (20.1), вообще говоря, нарушается, но правая часть представляет оценку инвестиционной стоимости. В настоящей работе уравнение (20.1) исследуется относительно неизвестной стоимости в обмене  актива.

20.1. Уравнение для ставки капитализации

Обозначим через  неизвестную ставку капитализации. Тогда ставка дисконта (20.2) является линейной функцией ставки капитализации:

                        (20.4)                                            

Здесь через  обозначена для краткости рисковая ставка дисконта отвечающая формально в соответствии с моделью CAPM:

                 (20.5)                                                                                

Предполагается, что

                  (20.6)                                                                             

Деля обе части (20.1) на и подставляя в него (20.4) после преобразования получим, что оно может быть записано в виде:

                        (20.7)                                                                                  

где

                   (20.8)                            

Экономический смысл имеют неотрицательные ставки капитализации. Поэтому следует исследовать решение (20.7),(20.8) при

                          (20.9)                                                                                         

          20.2. Свойства функции F(x)

При k=0 получим в частности известную формулу для ставки капитализации в двухскоростной детерминированной модели (см. гл.16):

В частности, при  получим формулу Гордона

Предполагается, что

              (20.10)                                                                         

В этом случае

             (20.11)                                                                                             

Нетрудно видеть, что функция F(k) является монотонной по k. При  она возрастает, а при –– убывает. При  значение функции совпадает с F(0).

          20.3. Существование и единственность решения

Рассмотрим отдельно два случая.

Пусть. В этом случае  и в силу (20.11) функция F отображает интервал  в себя. Множество  представляет собой полное метрическое пространство с евклидовой метрикой

Поэтому согласно принципу сжимающих отображений для существования и единственности решения уравнения (20.7) достаточно сжимаемости отображения F(.). Последнее в силу дифференцируемости F(.) равносильно условию:

                    (20.12)