Расчёт напряжений и деформаций при стеснённом кручении

Лекция № 12. Расчёт напряжений и деформаций при стеснённом кручении.

Стесненное кручение тонкостенных конструкций открытого сечения.

Расчет напряжений и деформаций.

Стесненным называется кручение, где наряду с касательными напряжениями возникают и нормальные напряжения. Не следует путать с явлениями в замкнутых контурах, где нормальные напряжения являются следствием несовместности деформаций. В данной задаче и касательные, и нормальные напряжения статически необходимы.

Допустим, что тонкостенная балка произвольна, но постоянного по длине сечения нагружается крутящим моментом. Требуется найти напряжения и деформации конструкции.

Воспользуемся гипотезой Власова о ничтожности деформации сдвига в панели, то есть , тогда депланация запишется в виде:

- секторальная координата ребра «к» отсчитанная от края сечения, (от точки 1 – в нашем случае).

Если известны перемещения по оси z (вдоль контура), то можно найти и деформации ребер, и силы, действующие в них.

где:     - перемещение;

z – длина.

()

Поскольку внешней нагрузкой сечения является только крутящий момент, внутренние усилия конструкции должны удовлетворять следующим уравнениям равновесия (**):

1.                                         4. 

2.                                         5.        

3.                                            6.

- площадь секторов с вершинами в центре жесткости.

Подставляем  из ()

Если за оси взять главные центральные оси сечения, то

                                  

                         

                  

Тогда:

;               

- называется главной секториальной координатой ребра «к».

Из последней формулы видно, что при кручении тонкостенной балки открытого контурного сечения нормальные напряжения пропорциональны главным секториальным координатам. Главным секториальным координатам удовлетворяют соотношения:

                           

Центром главных секториальных площадей будет центр жесткости сечения.

Центр кручения совпадает с центром жесткости.

Рассмотрим погонные касательные усилия:

()

Подставляем в 4 и 5 уравнения ():

Полученные суммы в силу первых трех уравнений () обращаются в ноль. Следовательно, эти уравнения тождества.

Преобразуем последнее уравнение системы  ():

Подставляем в уравнение (), получим:

Преобразуем сумму в знаменателе:

Тогда формула () принимает вид:

                                

- главный сектор момента инерции сечения.

Проинтегрируем последнее уравнение:

                      где:- бимомент.

Так как , получим:

, тогда        

и  определяются из краевых условий для каждой конкретной задачи; депланация сечения примет вид  . Она пропорциональна главной секториальной координате:

 (1)                         (2)

Подставляем (1) в (2), имеем 

Обозначаем , тогда  .

Где: - секториальный статический момент площадей.

Эта формула напоминает формулу определения потоков касательных сил при поперечном сдвиге.